相対論的力学とは、特殊相対論の原理、特にローレンツ変換に対して整合的な形に構築された力学であり、低速度 \(v\ll c\) ではニュートン力学に帰着します。
固有時
固有時（Proper Time）とは、移動する物体（または観測者）自身が持っている時計で計った時間（静止系の時間）のことです。誰から見ても変わらない客観的な時間の流れの定義になります。
物体が自分（観測者）に対して速度 $v$ で運動しているとき、観測者が測る時間を $dt$、物体の固有時の間隔を $d\tau$ とすると、両者には以下の関係が成り立ちます。
$$d\tau = dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{dt}{\gamma}$$
ここで $\gamma$ はローレンツ因子です。
$$\gamma^{-1}\equiv\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
これより $d\tau < dt$ となり、外部から見ると動いている物体の固有時 $\tau$ の進み方は、自分の時間 $t$ よりも遅いことになります。また、ミンコフスキー計量を、
$$ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 = c^2dt^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$$
とすれば、以下の関係が成り立ちます。
$$ ds=c\,d\tau -①$$
ラグラジアン
相対論的力学におけるラグラジアンは、解析力学のフレームワークを特殊相対論（光速不変・ローレンツ変換不変）に適合するように拡張したものです。自由粒子の作用 $S$ は、
$$S=\int_1^2Ldt$$
これにより、ラグラジアン $L$ は以下で表されます。
$$L = -mc^2 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} -②$$
このラグラジアンを非相対論極限を取ると、
$$ L\simeq \underbrace{-mc^2}_{\text{定数}} + \underbrace{\frac12mv^2}_{\text{ニュートン力学}} $$
②の導出
ローレンツ不変な作用 $S$ を作るには、定数 $\alpha$ を用いて固有時の積分として定義すると、
$$S = -\alpha \int_{\tau_1}^{\tau_2} d\tau = -\alpha \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \, dt$$
これと $S = \int L \, dt$ を比較すると、ラグラジアンは次の形になります。
$$L = -\alpha \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}$$
定数 $\alpha$ の値を決めるために、物体の速度が光速に比べて十分遅いとして（$v \ll c$）、マクローリン展開すると、
$$L \approx -\alpha \left( 1 – \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \right) = -\alpha + \frac{\alpha v^2}{2c^2}$$
この第２項について $L=mv^2/2$ と比較すると、$\alpha=mc$ であるため②が得られます。
$$L = -mc^2 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \to②$$
運動量と運動方程式
運動量はラグラジアンより導くことができます。
$$p=\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\gamma mv -③$$
運動方程式はニュートン方程式と同じ形になります。
$${\bf F}=\frac{d{\bf p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\gamma m{\bf v})$$
ハミルトニアン
ハミルトニアンは、ラグラジアンの正準変換で得られます。②と③より、
$$H=pv-L= \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma mc^2 -④$$
特に非相対論 $v\ll c$ の場合は以下になります。
$$H\simeq mc^2\Big(1+\frac{v^2}{2c^2}\Big)=mc^2+\frac{m}{2}v^2$$
尚、ハミルトニアンはエネルギー $E$ を表しますが、$v=0$ の場合のエネルギーは静止エネルギーと呼ばれます。
$$E_0=mc^2$$
静止エネルギーとは、静止状態の物体が持つエネルギーのことで、質量とエネルギーは等価と考えられています。
４元運動量
４元運動量とは、ニュートン力学での３次元の運動量を４次元（時空間）に拡張したもので、以下で定義されます。ここで $x^\mu=(ct,x,y,z)$ です。
$$P^\mu = m\frac{dx^\mu}{d\tau}$$
これに①を代入すると、
$$P^\mu = \left( \gamma mc,\, \gamma mv_x,\, \gamma mv_y,\, \gamma mv_z \right) -⑤$$
これに③④を使うと、
$${\bf P}=\Big(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\Big) -⑥$$
ミンコフスキー計量を使うと４元運動量の２乗は、
$$P_\mu P^\mu = \eta_{\mu\nu}P^\mu P^\nu$$$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} $$
これに⑤を代入すると、
$$ P_\mu P^\mu = (P^0)^2-(P^1)^2-(P^2)^2-(P^3)^2 =m^2c^2 -⑦$$
⑥と⑦より以下の関係式が得られます。
$$E^2=c^2{\bf p}^2+m^2c^4$$
そしてこの式から以下の関係式が得られます。
-
- 静止粒子 $ p=0 $：$$E=mc^2$$
- 質量ゼロ粒子 $ m=0 $：$$E=pc$$
- 非相対論的極限 $ p\ll mc $：$$ E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \simeq mc^2+\frac{p^2}{2m}. $$
４元力
４元力は４元運動量により以下のように定義されます。
$$ K^\mu = \frac{dP^\mu}{d\tau} $$$$ K^\mu = \left( \frac{\gamma}{c}\frac{dE}{dt}, \gamma\mathbf F \right) $$
４元力の各成分は以下のように得られます。
-
- 時間成分（第０成分）：$$K^0 = \frac{dP^0}{d\tau} = \gamma \frac{d}{dt}\left(\frac{E}{c}\right) = \frac{\gamma}{c} \frac{dE}{dt}$$
- 空間成分（第１〜３成分）：$$\mathbf{K} = \frac{d\mathbf{p}}{d\tau} = \gamma \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \gamma \mathbf{F}$$
