相対論的力学とは、ニュートンの運動方程式をローレンツ変換不変な形に書き換えた力学です。
固有時
固有時とは、物体が静止している系（以下、静止系）で測った時間です。等速で運動している系（以下、慣性系）の時間 $t’$ は、静止系の時間 $t$ に比べ伸びて（遅れて）見えます。
$$t_2-t_1=\frac{t’_2-t’_1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$$$\beta\equiv\frac{v}{c}$$
これを書き直すと以下になります。ここで $ds$ は微小間隔です。
$$dt’=dt\sqrt{1-\beta^2}=\frac{ds}{c} -①$$
ラグラジアン
自由粒子の作用 $S$ は、ラグラジアン $L$ により以下で表されます。
$$S=\int_1^2Ldt$$$$L=mc^2\sqrt{1-\beta^2} -②$$
②を導く
自由粒子の作用は①により以下で表されます。ここで $\alpha$ は定数です。
$$S=-\alpha\int_1^2ds=-\alpha\int_1^2cdt\sqrt{1-\beta^2}$$
非相対論の仮定 $v\ll c$ で展開し、
$$L=-\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=-\alpha c\Big(1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\cdots\Big)$$$$=-\alpha c+\frac{\alpha v^2}{2c}$$
$L=mv^2/2$ と比較すると、$\alpha=mc$ であるため②が得られます。
運動量と運動方程式
運動量はラグラジアンより導くことができます。
$$p=\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{mv}{\sqrt{1-\beta^2}} -③$$
これより、静止系の質量 $m$ と慣性系の質量 $m’$ は以下の関係があることが分かります。
$$m’=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
この質量 $m’$ を改めて慣性系の質量とすると、運動方程式はニュートン方程式と同じ形になります。
$$\frac{d{\bf p}}{dt}={\bf F}$$
ハミルトニアン
ハミルトニアンは、ラグラジアンの正準変換で得られます。②と③より、
$$H=pv-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} -④$$
特に非相対論 $v\ll c$ の場合は以下になります。
$$H\simeq mc^2\Big(1+\frac{v^2}{2c^2}\Big)=mc^2+\frac{m}{2}v^2$$
尚、ハミルトニアンはエネルギー $E$ を表しますが、$v=0$ の場合のエネルギーは質量エネルギーと呼ばれます。
$$E=mc^2$$
質量エネルギーとは、静止状態の物体が持つエネルギーのことで、質量とエネルギーは等価と考えられています。
４元運動量
４元運動量とは、ニュートン力学での３次元の運動量を４次元（時空間）に拡張したもので、以下で定義されます。
$$P^i\equiv mc\frac{dx^i}{ds}$$
これに①を代入すると、
$$P^i=m\Big(\frac{c}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{v_x}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{v_y}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{v_z}{\sqrt{1-\beta^2}}\Big) -⑤$$
この４元運動量の２乗は以下になり、
$${\bf P}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -\vec{1} \end{array}\right){\bf P}=(P^0)^2-(P^1)^2-(P^2)^2-(P^3)^2=m^2c^2 -⑥$$
②の第１項 $P_0$ はエネルギーを表します。
$${\bf P}=\Big(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\Big) -⑦$$
また、⑥と⑦より以下の関係式が得られます。
$$E^2=c^2{\bf p}^2+m^2c^4$$
特に、光子など質量をもたない粒子 $m=0$ の場合は以下になります。
$$E=c|{\bf p}|$$
⑦の導出
⑥の両辺を微分して、
$$P_0\frac{dP^0}{dt}-P^1\frac{dP^1}{dt}-P^2\frac{dP^2}{dt}-P^3\frac{dP^3}{dt}=0$$
これに⑤と運動方程式を代入すると以下になります。
$$c\frac{dP^0}{dt}-F_xv_x-F_yv_y-F_zv_z=0$$$$cdP^0=F_xdx+F_ydy+F_zdz$$
この右辺は仕事 $dW$ に等しく、上式はエネルギーの保存則 $dE=dW$ を表していると見ることができます。
$$dP^0=\frac{dE}{c}$$
これより⑦が得られます。
