最小作用の原理を導く

最小作用の原理とは

最小作用の原理とは、ある条件下で実際に起こる運動は、作用積分が停留値を持つような運動であることを示したものです。本記事では、最小作用の原理の定式化とその導出方法について説明します。

作用積分 $S$ は運動エネルギー $K$ の時間積分として定義されます。

$$S\equiv {\int }_{t1}^{t2}2Kdt$$

最小作用の原理は、作用積分がある条件下で停留値を持つ条件として表されます。ある条件下とは、質点系が保存力による作用を受けている場合で、最初の状態から最後の状態に移る過程で束縛条件に従う運動です。

$$\delta S=\delta {\int }_{t1}^{t2}2Kdt=0$$

最小作用の原理を導く

ここでは、18世紀にモーペルテュイにより見出された手順に沿って進めます。まず、以下を仮定します。

$$K^{\prime }=K+\delta K -\mathrm{①}$$$$x^{\prime }=x+\delta x -\mathrm{②}$$$$t^{\prime }=t+\delta t -\mathrm{③}$$$$d{t}^{\prime }=dt+d(\delta t) -\mathrm{④}$$

さらに④より、

$$\frac{dt}{d{t}^{\prime }}=\frac{dt}{dt+d(\delta t)}=(1+\frac{d(\delta t)}{dt}{)}^{-1}$$$$\cong 1-\frac{d(\delta t)}{dt} -\mathrm{⑤}$$

作用積分の微小変位に①と④を代入して、$\delta$ の２乗の項を無視すると、

$$\delta S\equiv {\int }_{t1}^{t2}2K^{\prime }d{t}^{\prime }-{\int }_{t1}^{t2}2Kdt$$$$={\int }_{t1}^{t2}2Kd(\delta t)+{\int }_{t1}^{t2}2(\delta K)dt -\mathrm{⑥}$$

以下、$\delta S=0$ となることを示します。

⑥を計算する

速度の微小変位を計算します。②と⑤を使い、$\delta$ の２乗の項を無視すると、

$$\delta \dot{x}=\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}-\frac{dx}{dt}=\frac{d(x+\delta x)}{dt}\frac{dt}{d{t}^{\prime }}-\frac{dx}{dt}$$$$=-\frac{dx}{dt}\frac{d(\delta t)}{dt}+\frac{d(\delta x)}{dt}$$

従って、

$$\delta \dot{\mathbf{r}}=-\dot{\mathbf{r}}\frac{d(\delta t)}{dt}+\frac{d(\delta \mathbf{r})}{dt}$$

運動エネルギーは、$r=(x,y,z)$ とすると $K=m{\dot{\mathbf{r}}}^2/2$ であるため、微小変位を取ると以下になります。

$$\delta K=m\dot{\mathbf{r}}\cdot (\delta \dot{\mathbf{r}})=-m{\dot{\mathbf{r}}}^2\frac{d(\delta t)}{dt}+m\dot{\mathbf{r}}\cdot \left(\frac{d(\delta \mathbf{r})}{dt}\right)$$

この式の時間積分を行い、第２項の部分積分を行います。

$${\int }_{t1}^{t2}\delta Kdt=-{\int }_{t1}^{t2}2Kd(\delta t)$$$$+[m\dot{\mathbf{r}}\cdot (\delta \mathbf{r}){]}_{t1}^{t2}-{\int }_{t1}^{t2}m\ddot{\mathbf{r}}\cdot (\delta \mathbf{r})dt$$

始点と終点では微小変位は0であるため、第２項は０になります。第３項は保存力 $F$ を使って書き換えると、

$${\int }_{t1}^{t2}\delta Kdt=-{\int }_{t1}^{t2}2Kd(\delta t)-{\int }_{t1}^{t2}\mathbf{F}\cdot (\delta \mathbf{r})dt$$

第３項は保存力による仕事を表しますが、これは位置エネルギー $V$ の減少であり、運動エネルギーの増加を表します。つまり、$\mathbf{F}\cdot (\delta \mathbf{r})=-\delta V=\delta K$ を代入して整理すると以下になります。

$${\int }_{t1}^{t2}2\delta Kdt+{\int }_{t1}^{t2}2Kd(\delta t)=0$$

これにより、$\delta S=0$ となることが得られます。

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2021.04.13

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