インピーダンスとは - 理数の散策路

インピーダンス

インピーダンスとは、交流回路での電流の流れにくさを表す物理量です。交流の場合は、電流を妨げるものとして抵抗の他、コンデンサとコイルが追加されます。

交流のオームの法則も、インピーダンスを使って、直流と同様に表すことができます。

$$V=ZJ$$

例えば、抵抗とコンデンサ（$C$）とコイル（$L$）が直列に並んでいる場合は、インピーダンスは以下で表されます。

$$Z=R+Z_c+Z_L$$$$=R+\frac{1}{i\omega C}+i\omega L$$

尚、インピーダンスは一般的に、実数部と虚数部に分かれます。実数部は抵抗（$R$）ですが、虚数部はリアクタンス（$X$）と呼ばれます。

$$Z\equiv R+iX$$

コンデンサとは、電気を蓄えたり、放電したりする電子分品です。直流の場合は、定常的に電流が流れることはありませんが、交流の場合は、充電と放電を繰り返すことにより、電流が流れます。

コンデンサに電気を蓄えられる電気量（$Q$）と電圧の関係は以下で表すことができます。$C$ はキャパシタンス（電気容量）と呼ばれ、単位はファラッド（$F$）です。１ファラッドのコンデンサに１ボルトの電圧をかけると、１クーロンの電気量を蓄えることができます。

$$Q=CV　　-①$$

コンデンサについてのオームの法則は以下で表されます。

$$V=\frac{1}{i\omega C}J=Z_cJ　　-②$$

以下のような交流電圧を仮定し、

$$V=V_0 \cos{\omega t}=V_0e^{i\omega t}$$

①の両辺を時間微分すると、

$$J=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}=i\omega CV$$

これにより②が得られます。

コイルとは、導線をらせん状に巻いたもので、交流電流が流れると、電磁誘導により電流を抑制する抵抗の働きをします。

コイルに流れる電流（$J$）とコイルの中を貫く磁束（$\Phi$）の関係は以下で表されます。Ｌはインダクタンスと呼ばれ、単位はヘンリー（$H$）です。１ヘンリーのコイルに１アンペアの電流を流すと、１ウェーバの磁束が発生します。

$$\Phi=LJ　　-③$$

コイルについてのオームの法則は以下で表されます。

$$V=i\omega LJ=Z_LJ　　-④$$

以下のような交流電流を仮定し、

$$J=J_0 \cos{(\omega t-\theta)}=J_0e^{i(\omega t-\theta)}$$

③の両辺を時間微分すると、磁束の時間変化はコイルに働く起電力になるため、

$$V=\frac{d\Phi}{dt}=L\frac{dJ}{dt}=i\omega LJ$$

これにより④が得られます。

アドミタンス（$Y$）は、インピーダンスの逆数として定義され、伝導率を表します。アドミタンスの実数部はコンダクタンス（$G$）、虚数部はサセプタンス（$B$）と呼ばれます。

$$Y\equiv\frac{1}{Z}=G+iB$$$$G=\frac{R}{R^2+X^2}$$$$B=-\frac{X}{R^2+X^2}$$

インピーダンスとアドミタンスの合成は、抵抗の場合と同様に表されます。