ボーアの原子模型とは

ボーアの原子模型は、古典論的な原子模型の矛盾を解決するために導入されました。

ボーア以前は、原子核の周りを電子が周回する太陽系型の原子模型（ラザフォードの原子模型）が考えられていました。しかし古典電磁気学では、荷電粒子が円運動をすると、その回転数に等しい振動数の電磁波を放射しエネルギーを失ってしまうため、原子が安定した状態を保つことはできません。

そこで、ボーアにより導入されたのが以下の量子条件です。

ボーアの量子条件とは、原子核を周る電子の軌道の長さが、電子の波長の長さの整数倍の場合のみ安定して存在するという仮説です。これは、ド・ブロイの関係式 $\lambda=h/mv$ の原子への応用です。

$$2\pi r=n\lambda=n\frac{h}{mv}　　－①$$

ここで、$h$ はプランク定数、$r$ は電子軌道の半径、$m$ は電子の質量、$v$ は電子の速度を表します。

ボーアの量子条件によって、電子のエネルギー準位が以下のような不連続な値を持つことが導かれます。

$$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon^2h^2}\frac{1}{n^2}　　－②$$

ボーア半径 $a_0$ は、基底状態（$n=1$）の場合の電子軌道の半径で、以下で表されます。

$$a_0=\frac{\epsilon h^2}{\pi me^2}\cong 5.29\times 10^{-11}m$$

基底状態以外の電子軌道の半径は、ボーア半径により以下で表されます。

$$r_n=n^2a_0　　－③$$

ボーアの原子模型は、水素原子の輝線スペクトルを説明することができます。原子がある定常状態 $E$ から別の定常状態 $E’$ に遷移する場合（$E\gt E’,n\gt n’$）、エネルギーが $h\nu$ の光子の放出します。これをボーアの原子模型から導くと以下になります。

$$h\nu=|E’-E|=\frac{me^4}{8\epsilon^2h^2}\left(\frac{1}{n’^2}-\frac{1}{n^2}\right)$$

ボーアの原子模型を導く

以下の３つの仮定より、ボーアの原子模型を導きます。尚、仮定２と仮定３は古典力学からの自然な類推です。

仮定２より、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{mv^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon r^2}　　－④$$

仮定３より、以下の式が成り立ちます。

$$E=\frac{mv^2}{2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon r}　　－⑤$$

④と⑤より、古典的な物理量である速度 $v$ を消去します。

$$E=-\frac{e^2}{8\pi\epsilon r}　　－⑥$$

①と④より、同様に $v$ を消去します。

$$\frac{1}{r}=\frac{\pi me^2}{\epsilon h^2}\frac{1}{n^2}　　－⑦$$

⑥に⑦を代入すると②が得られます。

$$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon^2h^2}\frac{1}{n^2}　　\to②$$

⑦で $n=1$（基底状態）と置いた場合の距離がボーア半径となります。

$$r=\frac{\epsilon h^2}{\pi me^2}\equiv a_0$$

さらに、⑦をボーア半径でまとめると、③が導かれます。