測地線とは
測地線とは、空間内の２点を結ぶ距離が最短となる経路です。平面上またはユークリッド空間内では直線となり、球面上では大円となります。物理学では、測地線は２点間の光の経路を表します。
座標 $x^i$ がパラメタ $s$ の関数であるとし、以下を定義します。
$$\frac{dx^i}{ds}=v^i －①$$
このベクトル $v^i$ を、新しい点 $x^{i’}$（$=x^i+v^ids$） に平行移動し、新たに $v^{i’}$ を定義します。これを繰り返して得られた軌道が測地線で、以下で定義されます。
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0$$
ここで、以下のクリストッフェル記号を使用しています。
$$\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\Gamma_{ljk}$$$$=\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) -②$$
測地線を導く
任意の固定された区間の積分が、微小変位に対し停留値となる条件を求めます。
$$I\equiv\delta\int_1^2 ds=\int_1^2\delta ds=0 －③$$
まず定義より、
$$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$$
これの微小変位を取ると以下になります。
$$2ds\delta(ds)=\delta(g_{ij})dx^idx^j+2g_{ik}dx^i\delta(dx^k)$$
これを以下を使って書き替え、
$$\delta(g_{ij})=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\delta x^k$$$$\delta(dx^k)=d\delta x^k$$
①を使うと、
$$\delta(ds)=\Big(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\delta x^k+g_{ik}\frac{dx^i}{ds}\frac{d\delta x^k}{ds}\Big)ds$$$$=\Big(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}v^iv^j\delta x^k+g_{ik}v^i\frac{d\delta x^k}{ds}\Big)ds$$
これを③に代入すると、
$$I=\int_1^2\Big(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}v^iv^j\delta x^k+g_{ik}v^i\frac{d\delta x^k}{ds}\Big)ds$$
この第２項を部分積分して、始点１と終点２で $\delta x^k=0$ であるから、
$$I=\int_1^2\Big(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}v^iv^j-\frac{d(g_{ik}v^i)}{ds}\Big)\delta x^kds$$
さらに第２項は、以下のように変形され、
$$\frac{d(g_{ik}v^i)}{ds}=g_{ik}\frac{dv^i}{ds}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^jv^i$$
この第２項について、$g_{ik}$ の対称性を利用し、$i$ と $j$ は入れ替えられることにより、
$$\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}v^jv^i=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j})v^iv^j$$$$=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i})v^iv^j$$
従って、
$$I=\int_1^2\left(g_{ik}\frac{dv^i}{ds}+\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big)v^iv^j\right)\delta x^kds$$
任意の $\delta x^k$ に対して③が０になる条件は、この被積分が０になる必要があるため、以下のように表すことができます。
$$g_{ik}\frac{dv^i}{ds}+\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big)v^iv^j=0$$
この両辺に $g^{lk}$ を掛けると、$g^{lk}g_{ik}=\delta^l_i$ より、
$$\frac{dv^l}{ds}+\frac{1}{2}g^{lk}\Big(\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big)v^iv^j=0$$
ここで、添え字を $i\to j$ 、$j\to k$ 、$k\to l$ 、$l\to i$ のように入れ替えると、測地線の式②が得られます。
