リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルとは、空間の曲率を表すテンソルで、平らな空間の場合は０になります。リーマン曲率テンソルは、２階の共変微分の順序を入れ替えた際の差分を表します。
$$A_lR_{ijk}^l＝A_{i:j:k}-A_{i:k:j} －①$$
ここでリーマン曲率テンソル $R_{ijk}^l$ は以下で定義されます。
$$R_{ijk}^l\equiv\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l －②$$
①を導く
リーマン曲率テンソル①は共変微分の定義である２つの式、
$$A_{i:j}=\frac{\partial A_i}{\partial x^j}-\Gamma_{ij}^lA_l －③$$$$T_{ij:k}=\frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lT_{lj}-\Gamma_{jk}^lT_{il} －④$$
を使って確認することができます。まず、③の左辺１項の $A_{i:j}$ をテンソルとみなし、④を使うと、
$$A_{i:j:k}=\frac{\partial A_{i:j}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lA_{l:j}-\Gamma_{jk}^lA_{i:l}$$
これの共変微分に③を使うと、
$$A_{i:j:k}=\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^j}-\Gamma_{ij}^lA_l\Big)-\Gamma_{ik}^l\Big(\frac{\partial A_l}{\partial x^j}-\Gamma_{lj}^mA_m\Big)-\Gamma_{jk}^l\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma_{il}^mA_m\Big)$$
次に同様にして $A_{i:k:j}$ を求めると、
$$A_{i:k:j}=\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lA_l\Big)-\Gamma_{ij}^l\Big(\frac{\partial A_l}{\partial x^k}-\Gamma_{lk}^mA_m\Big)-\Gamma_{kj}^l\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma_{il}^mA_m\Big)$$
①の右辺を計算し、$\Gamma^l_{jk}=\Gamma^l_{kj}$ を利用すると、
$$A_{i:j:k}-A_{i:k:j}=-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}A_l+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{lj}^mA_m+\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}A_l-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^mA_m$$$$=\Big(\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l\Big)A_l$$
①の左辺（リーマン曲率テンソル）が導かれます。
対称性
リーマン曲率テンソルは次の対称性を持ちます。
$$R_{ijkl}=-R_{ijlk} -⑤$$$$R_{ijkl}=-R_{jikl} -⑥$$$$R_{ijkl}=R_{klij}=R_{lkji} -⑦$$
まず、⑤はリーマン曲率テンソルの定義より明らかです。
⑥と⑦の導出
リーマン曲率テンソルの定義より、
$$R_{ijkl}=g_{in}R^n_{jkl}=g_{in}\Big(\frac{\partial\Gamma_{jl}^n}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma_{jk}^n}{\partial x^l}+\Gamma_{jl}^m\Gamma_{mk}^n-\Gamma_{jk}^m\Gamma_{ml}^n\Big)$$
右辺第１項に次の関係を使うと、
$$g_{in}\frac{\partial\Gamma^n_{jl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}\Gamma^n_{jl}=\frac{\partial}{\partial x^k}(g_{in}\Gamma^n_{jl})=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}$$
以下になります。
$$R_{ijkl}=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}\Gamma^n_{jl}+\Gamma_{jl}^n\Gamma_{ink}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$
ここで、右辺第３項の $m$ は $n$ に置換えています。次に、クリストッフェル記号の定義より得られる関係式
$$\Gamma_{ink}+\Gamma_{nik}=\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}$$
を使うと、
$$R_{ijkl}=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$$$=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\frac{\partial\Gamma_{ijk}}{\partial x^l}+\Gamma_{nil}\Gamma^n_{jk}$$$$=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}\Big)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^l}\Big(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\Big)$$$$+g^{mn}(\Gamma_{nil}\Gamma_{mjk}-\Gamma_{nik}\Gamma_{mjl})$$
第１、２項について、$i,j$ の交換に対して反対称であることが分かります。第３項についても、$n,m$ は入れ替えることができるので、$i,j$ の交換に対して反対称になります。これより⑥が成り立つことが分かります。さらに、⑦についても成り立つことが分かります。
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