相対論的弦の運動方程式

弦の運動方程式とは
弦の運動方程式を導く

弦の運動方程式とは

南部・後藤の作用は以下で与えられるため、

$$S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma{\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)　　-①$$

$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)=-\frac{T_0}{c}\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}$$

$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$

$\dot{X}$、$X’$ の共役変数 $P^\tau$、$P^\sigma$ を以下で定義すると、

$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X_\mu’-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$P^\sigma_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}_\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X’_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$

相対論的な弦の運動方程式は以下で表されます。

$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0　　-②$$

弦の運動方程式を導く

作用①の変分が０である条件を求めます。

$$\delta S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\delta{\mathcal L}=0　　-③$$

ラグラジアンの変分を取り、$\delta\dot{X}=\partial(\delta X)/\partial\tau$ 、$\delta X’=\partial(\delta X)/\partial\sigma$ であるため、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\delta\dot{X}^\mu+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}\delta X^{\mu’}$$$$=P^\tau_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\tau}+P^\sigma_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\sigma}$$

部分積分を行うと、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)$$$$-\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu　　-④$$

④の第１項については、

$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)=\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big[P^\tau_\mu\delta X^\mu\Big]_{\tau0}^{\tau1}=0　　-⑤$$

となるような境界条件を仮定します。

④の第2項については、

$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\Big[P^\sigma_\mu\delta X^\mu\Big]_{0}^{\sigma1}=0　　-⑥$$

となるような境界条件を仮定します。従って、作用の変分③は以下になります。

$$\delta S=-\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu$$

これが $\delta X$ によらず０になる必要があるため、運動方程式②が得られます。