固有値問題とは - 理数の散策路

固有値問題

固有値問題とは、あるベクトルの線形変換が、元のベクトルのスカラー倍になるための条件を求める問題です。このスカラー倍の値を固有値と呼びます。

線型変換を $n\times n$ の正方行列 $A$ とすると、固有値 $\lambda$ とそれに対応する固有ベクトル ${\bf x}$ の関係は以下で表されます。

$$A{\bf x}=\lambda{\bf x}　　-①$$

これは単位行列 $I$ を使ってを書き換えると、

$$(A-\lambda I){\bf x}=0$$

この方程式が自明でない解をもつためには、以下の固有方程式が０である必要があります。

$$\Phi_A(\lambda)\equiv|A-\lambda I|=0$$

これは $n$ 次の代数方程式なので、重複を含めると $n$ 個の根が存在することになります。

$$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)=0$$

固有値について以下のことが成り立ちます。

行列 $A$ の行列式は、固有値の積で表される。
$$|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$
行列 $A$ の対角成分の和（固有和）は、固有値の和で表される。
$$\mathrm{tr}A=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$
逆行列 $A^{-1}$ が存在することと、行列式が０でない（$|A|\ne0$）ことと、全ての固有値が０でない（$\lambda_i\ne0$）ことは同値となる。
行列 $A$ が対象行列の場合、全ての固有値は実数になる。

行列式の性質より $|AB|=|BA|$ であるため、正則行列を $U$ とすると、

$$|U^{-1}AU|=|AUU^{-1}|=|A|$$

$A$ を対角化する行列を $U$ とすると、以上より対角化しても行列式は変わらないため、

$$|A|=|U^{-1}AU|=|\lambda I|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

固有和の性質として、$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$であるため、

$$\mathrm{tr}(U^{-1}AU)=\mathrm{tr}(AUU^{-1})=\mathrm{tr}A$$

$A$ を対角化する行列を $U$ とすると、以上より対角化しても固有和は変わらないため、

$$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}(U^{-1}AU)=\mathrm{tr}(\lambda I)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$

①の左から ${\bf x}$ の共役転置 ${\bf x}^*$ を掛けると、

$${\bf x}^*A{\bf x}={\bf x}^*\lambda{\bf x}=\lambda|x|^2　　-(1)$$

①の共役転置を取り、右から ${\bf x}$ を掛けると、

$${\bf x}^*A={\bf x}^*\lambda^*$$$${\bf x}^*A{\bf x}={\bf x}^*\lambda^*{\bf x}=\lambda^*|x|^2　　-(2)$$

（１）と（２）は等しいため、

$$(\lambda-\lambda^*)|x|^2=0$$

$|x|^2\ne0$ とすれば、$\lambda=\lambda^*$ が導かれます

固有ベクトルについて以下のことが成り立ちます。

異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。それらの固有ベクトルは、固有空間を作りる。
行列 $A$ が対象行列の場合、全ての固有ベクトルは実数ベクトルとなる。
各固有値に対応する大きさ１の固有ベクトルを ${\bf u}_i,$ とすると、このベクトルを並べた行列 $U=({\bf u}_1\cdots{\bf u}_n)$ は直交行列となる。
$$UU^t=U^tU＝I$$
この直交行列 $U$ を用いて、行列 $A$ を対角化することができる。ここで、固有値 $\lambda_i$ を対角上に並べた行列を $\Lambda$ とする。
$$U^tAU=\Lambda　　-②$$