ドリフト運動とは、磁場内を運動する荷電粒子にある力が作用したとき、磁場にも力にも垂直な方向に発生する等速運動です。
一般的な外力の場合
一定磁場な磁場のみ存在する空間では、荷電粒子はローレンツ力により円運動を行うため、磁場により閉じ込められた状態になります。しかし、外力が働くと、その閉じ込めが破られてしまいます。
このときの運動方程式は以下になります。右辺１項が荷電粒子に働く外力 ${\bf F}$ 、第２項はローレンツ力を表します。
$$m\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf F}+q{\bf v}\times{\bf B} －①$$
ここで簡単のため、磁場を $z$ 成分のみ（$0,0,B$）、磁場に垂直な外力は $x$ 成分のみ（$F_x,0,F_z$）とし、①を解くと以下になります。尚、$\omega_c$ はサイクロトロン振動数（$\omega_c=qB/m$）です。
$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$$$v_y=iv_\perp e^{i\omega_ct}-\frac{F_x}{qB} -②$$$$v_z=\frac{F_z}{m}t$$
②の右辺第１項は等速円運動を表し、第２項は外力の作用により発生するドリフト運動です。ドリフト運動は、磁場（$z$ 軸）と外力（$x$ 軸）の双方に垂直な方向（$y$ 軸）に等速運動が発生することが分かります。尚、$z$ 軸方向は外力による等加速運動になります。
一般的には、ドリフト運動の速度 ${\bf v}_f$ は以下で表されます。
$${\bf v}_f=\frac{1}{q}\frac{{\bf F}\times{\bf B}}{B^2} －③$$
②を導く
${\bf B}=(0,0,B)$ 、${\bf F}=(F_x,0,F_z)$ として、①を書き下すと、
$$m\dot{v}_x=F_x+qv_yB -(1)$$$$m\dot{v}_y=-qv_xB -(2)$$$$m\dot{v}_z=F_z$$
(1) を時間微分すると、
$$m\ddot{v}_x=q\dot{v_y}B -(3)$$
(2) を (3) に代入し、サイクロトロン振動数 $\omega_c$ を使うと、
$$\ddot{v}_x=-\omega_c^2v_x$$
積分すると以下の解を持つことが分かります。ここで $v_\perp$ は円周の接線方向の速度です。
$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$
これを時間微分し、
$$\dot{v}_x=i\omega_cv_\perp e^{i\omega_ct}$$
(1)に代入すると②が得られます。
③を導く
ドリフト運動は等速運動であるため、①の左辺を０と置き、右から ${\bf B}$ のベクトル積を取り、ベクトル公式
$$({\bf v}\times{\bf B})\times{\bf B}=-B^2{\bf v}+({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$
を使うと以下になります。
$$0={\bf F}\times{\bf B}-qB^2{\bf v}+q({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$
第３項は磁場に平行な運動で、${\bf v}_g\cdot{\bf B}=0$ となるため、第１項から③が得られます。
重力がある場合
重力の場合、${\bf F}=m{\bf g}$ であるため、③より以下になります。
$${\bf v}_g=\frac{m}{q}\frac{{\bf g}\times{\bf B}}{B^2} -④$$
電場がある場合
一様な電場の場合、${\bf F}=q{\bf E}$ であるため、③より以下になります。
$${\bf v}_E=\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2} -⑤$$
非一様電場
非一様電場の場合のドリフト運動は以下で表されます。
$${\bf v}_E=\Big(1+\frac{1}{4}r_L^2\nabla^2\Big)\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2} -⑥$$
⑥の導出
電場が $x$ 軸方向のみで、$y$ 方向に沿って正弦的に変化する場合を仮定します。
$${\bf E}=(E_0\cos{ky},0,0)$$
磁場による円運動を行う電子の座標を以下で表すと、
$$y=y_0+r_L\cos{\omega_ct}$$
これと三角関数の公式を使い、$kr_L\ll1$ の場合を仮定すると、
$$E_x=E_0\cos{k(y_0+r_L\cos{\omega_ct})}$$$$=E_0\Big(\cos{(ky_0)}\cos{\big(kr_L\cos{(\omega_ct)}\big)}-\sin{(ky_0)}\sin{\big(kr_L\cos{(\omega_ct)}\big)}\Big)$$$$=E_0\cos{(ky_0)}\Big(1-\frac{1}{2}k^2r_L^2\cos^2{(\omega_ct)}\Big)-E_0kr_L\sin{(ky_0)}\cos{(\omega_ct)}$$
１周期に渡って平均操作を行うことで回転運動を取り除くと、
$$E_x=E_x(y_0)\Big(1-\frac{1}{4}k^2r_L^2\Big)$$
これにより、電場がある場合のドリフトは以下のように書き換えることができます。
$${\bf v}_E=\Big(1-\frac{1}{4}k^2r_L^2\Big)\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$
電場を ${\bf E}\sim e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}$ のように考えると、$\nabla^2{\bf E}=-k^2{\bf E}$ であるため、$k^2\to-\nabla^2$ のように置き換えることができます。
$${\bf v}_E=\Big(1+\frac{1}{4}r_L^2\nabla^2\Big)\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$
時間的に変化する電場
時間的に変化する電場の場合のドリフト運動は以下で表されます。
$${\bf v}_p=\pm\frac{1}{\omega_cB}\frac{d{\bf E}}{dt} -⑦$$
⑦の導出
電場が $x$ 軸方向のみで、時間的に変化する場合を仮定します。
$${\bf E}=(E_0e^{i\omega t},0,0)$$
これにより①を書き下すと、
$$\dot{v}_x=\frac{qB}{m}v_y+\frac{q}{m}E_x(t)$$$$\dot{v}_y=-\frac{qB}{m}v_x$$
$\dot{v}_x$ を微分すると、
$$\ddot{v}_x=-\omega_c^2v_x\pm\frac{\omega_c}{B}\frac{dE_x}{dt}=-\omega_c^2\Big(v_x\mp\frac{1}{\omega_cB}\frac{dE_x}{dt}\Big)$$
この右辺第１項は磁場による円運動を表し、第２項は時間的に変化する電場によるドリフト運動を表します。ここで、正符号はイオン（正電荷）、負符号は電子（負電荷）を表します。
非一様磁場
強さが変わる磁場
非均一な磁場で、特に $\nabla B\perp{\bf B}$ の場合を考えます。 磁場の強さが以下のようにテイラー展開されるとき、
$${\bf B}={\bf B}_0+({\bf r}\cdot\nabla){\bf B}+\cdots$$
磁場から受ける力は以下になります。ここで、$r_L$ はラーモア半径、$v_\perp$ は磁場に垂直面上での速度です。（）
$${\bf F}=-q{\bf v}\times{\bf B}=\frac{qv_\perp r_L}{2}\nabla B -⑧$$
$$r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}$$
従って、$\nabla B$ によるドリフトは③より以下になります。
$${\bf v}_{\nabla B}=\frac{v_\perp r_L}{2}\frac{(\nabla B)\times{\bf B}}{B^2}$$
⑧を導く
磁場を $(0,0,B_z)$、強さが $y$ 軸方向に変化する場合、磁場のテイラー展開は、
$$B_z=B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}$$
ローレンツ力の $y$ 成分を書くと、
$$F_y=-qv_xB_z=-qv_x\Big(B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$
回転運動を行っているため、
$$(x,y)=(r_L\cos{\omega_ct},r_L\sin{\omega_ct})$$
$$(\dot{x},\dot{y})=(-\omega_cr_L\sin{\omega_ct},\omega_cr_L\cos{\omega_ct})$$
従って、
$$F_y=q\omega_cr_L\sin{\omega_ct}\Big(B_0+r_L\sin{\omega_ct}\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$
これの平均を取ると、第１項は０、第２項は $\overline{\sin^2{\omega t}}=1/2$ であるため、
$$\overline{F}_y=\frac{q\omega_cr_L^2}{2}\frac{\partial B}{\partial y}$$
湾曲磁場
非均一な磁場で、特に磁場が湾曲している場合を考えます。磁力線の曲率半径を $R_c$ とすると、磁力線に沿って運動する荷電粒子が受ける遠心力は、
$${\bf F}_{cf}=mv_\parallel^2\frac{{\bf R}_c}{R_c^2}$$
であるため、湾曲磁場によるドリフトは③より以下になります。
$${\bf v}_R=\frac{mv_\parallel^2}{q}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2} -⑨$$
尚、磁場が湾曲している場合は磁場の強さも変化するため、真空湾曲磁場でのドリフトは$\nabla B$ との合成になります。
$${\bf v}_R+{\bf v}_{\nabla B}=\frac{m}{q}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}\Big(v_\parallel^2+\frac{1}{2}v_\perp^2\Big) -⑩$$
ここで、マクスウェル方程式 $\nabla\times{\bf B}=0$ より、$B_\theta\sim1/r$ であるから、以下の関係を使っています。
$$\frac{\nabla B}{B}=\frac{{\bf R}_c}{R_c^2}$$
