ドリフト運動とは、磁場内を運動する荷電粒子にある力が作用したとき、磁場にも力にも垂直な方向に発生する等速運動です。
一般的な外力の場合
一定磁場な磁場のみ存在する空間では、荷電粒子はローレンツ力により円運動を行うため、磁場により閉じ込められた状態になります。しかし、外力が働くと、その閉じ込めが破られてしまいます。
このときの運動方程式は以下になります。右辺１項が荷電粒子に働く外力（${\bf F}$）、第２項はローレンツ力を表します。
$$m\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf F}+q{\bf v}\times{\bf B} －①$$
ここで簡単のため、磁場を $z$ 成分のみ（$0,0,B$）、磁場に垂直な外力は $x$ 成分のみ（$F_x,0,F_z$）とし、①を解くと以下になります。尚、$\omega_c$ はサイクロトロン振動数（$\omega_c=qB/m$）です。
$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$$$v_y=iv_\perp e^{i\omega_ct}-\frac{F_x}{qB} -②$$$$v_z=\frac{F_z}{m}t$$
②の右辺第１項は等速円運動を表し、第２項は外力の作用により発生するドリフト運動です。ドリフト運動は、磁場（$z$ 軸）と外力（$x$ 軸）の双方に垂直な方向（$y$ 軸）に等速運動が発生することが分かります。尚、$z$ 軸方向は外力による等加速運動になります。
一般的には、ドリフト運動の速度 ${\bf v}_f$ は以下で表されます。
$${\bf v}_f=\frac{1}{q}\frac{{\bf F}\times{\bf B}}{B^2} －③$$
②を導く
${\bf B}=(0,0,B)$ 、${\bf F}=(F_x,0,F_z)$ として、①を書き下すと、
$$m\dot{v}_x=F_x+qv_yB -(1)$$$$m\dot{v}_y=-qv_xB -(2)$$$$m\dot{v}_z=F_z$$
(1)と(2)を時間微分すると、
$$m\ddot{v}_x=q\dot{v_y}B -(3)$$$$m\ddot{v}_y=-q\dot{v_x}B$$
(2)を(3)に代入し、サイクロトロン振動数 $\omega_c$ を使うと、
$$\ddot{v}_x=-\omega_c^2v_x$$$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$
これを時間微分し、
$$\dot{v}_x=i\omega_cv_\perp e^{i\omega_ct}$$
(1)に代入すると②が得られます。
③を導く
ドリフト運動は等速運動であるため、①の左辺を０と置き、右から ${\bf B}$ のベクトル積を取り、ベクトル公式
$$({\bf v}\times{\bf B})\times{\bf B}=-B^2{\bf v}+({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$
を使うと以下になります。
$$0={\bf F}\times{\bf B}-qB^2{\bf v}+q({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$
第３項は磁場に平行な運動で、${\bf v}_g\cdot{\bf B}=0$ となるため、第１項から③が得られます。
重力の場合
重力の場合、${\bf F}=m{\bf g}$ であるため、③より以下になります。
$${\bf v}_g=\frac{m}{q}\frac{{\bf g}\times{\bf B}}{B^2}$$
電場の場合
一様な電場の場合、${\bf F}=q{\bf E}$ であるため、③より以下になります。
$${\bf v}_E=\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$
磁場の強さが変わる場合
非均一な磁場で、特に $\nabla B\perp{\bf B}$ の場合を考えます。 磁場の強さが以下のようにテイラー展開されるとき、
$${\bf B}={\bf B}_0+({\bf r}\cdot\nabla){\bf B}+\cdots$$
磁場から受ける力は以下になります。ここで、$r_L$ はラーモア半径、$v_\perp$ は磁場に垂直面上での速度です。
$${\bf F}=-q{\bf v}\times{\bf B}=\frac{qv_\perp r_L}{2}\nabla B -⑤$$
$$r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}$$
従って、$\nabla B$ によるドリフトは③より以下になります。
$${\bf v}_{\nabla B}=\frac{v_\perp r_L}{2}\frac{(\nabla B)\times{\bf B}}{B^2}$$
⑤を導く
磁場を $(0,0,B_z)$、強さが $y$ 軸方向に変化する場合、磁場のテイラー展開は、
$$B_z=B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}$$
ローレンツ力の $y$ 成分を書くと、
$$F_y=-qv_xB_z=-qv_x\Big(B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$
回転運動を行っているため、
$$(x,y)=(r_L\cos{\omega_ct},r_L\sin{\omega_ct})$$
$$(\dot{x},\dot{y})=(-\omega_cr_L\sin{\omega_ct},\omega_cr_L\cos{\omega_ct})$$
従って、
$$F_y=q\omega_cr_L\sin{\omega_ct}\Big(B_0+r_L\sin{\omega_ct}\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$
これの平均を取ると、第１項は０、第２項は $\overline{\sin^2{\omega t}}=1/2$ であるため、
$$\overline{F}_y=\frac{q\omega_cr_L^2}{2}\frac{\partial B}{\partial y}$$
湾曲磁場の場合
非均一な磁場で、特に磁場が湾曲している場合を考えます。磁力線の曲率半径を $R_c$ とすると、磁力線に沿って運動する荷電粒子が受ける遠心力は、
$${\bf F}_{cf}=mv_\parallel^2\frac{{\bf R}_c}{R_c^2}$$
であるため、湾曲磁場によるドリフトは②より以下になります。
$${\bf v}_R=\frac{mv_\parallel^2}{2}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}$$
尚、磁場が湾曲している場合は磁場の強さも変化するため、真空湾曲磁場でのドリフトは$\nabla B$ との合成になります。
$${\bf v}_R+{\bf v}_{\nabla B}=\frac{m}{q}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}\Big(v_\parallel^2+\frac{1}{2}v_\perp^2\Big)$$
