指数関数
指数関数とは、以下のように冪における指数 $x$ を変数とする関数ですが、
$$y=a^x$$
狭義では、以下のネイピア数 $e$ を底とする指数関数を指します。
$$y=e^x$$$$e\equiv\lim_{n \to \infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cong2.718$$
対数関数
対数関数 $\log$ の公式を指数との対比で整理します。
| 指数 | 対数 |
| $a^x=y$ | $x=\log_a{y}$ |
| $a^0=1$ | $0=\log_a{1}$ |
| $a^1=a$ | $1=\log_a{a}$ |
| $a^x\cdot a^y = a^{x+y}$ | $\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y} -①$ |
| $$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$ | $$\log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x}-\log_a{y} -②$$ |
| $a^y=x^b$（$a^{y/b}=x$） | $\log_a{x^b}=b\log_a{x} -③$ |
| $x=a^y$ | $$\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} -④$$ |
［③の導出］
$a^y=x^b$ の対数を取ると $y=\log_a{x^b}$ 、$a^{y/b}=x$ の対数を取ると $y/b=\log_a{x}$ より、$y$ を削除すると対数の公式が得られます。
［④の導出］
$x=a^y$ を $a$ と $b$ で対数を取ると $\log_a{x}=y$ 、$\log_b{x}=y\log_b{a}$ より、$y$ を削除すると対数の公式が得られます。
三角関数
三角関数は直角三角形の各辺の比として定義されます。
$$\sin{x}\equiv\frac{BC}{AC}$$$$\cos{x}\equiv\frac{AB}{AC}$$$$\tan{x}\equiv\frac{BC}{AB}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$
その他、三角関数には以下の関係式が成り立ちます。
$$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$$$$\sin{x}\lt x\lt\tan{x} (0\le x\le \pi/2)$$$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$
三角関数の加法定理は以下になります。以下の式は⑥と⑦より導くことができます。
$$\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$$$$\cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$$$$\sin{x}+\sin{y}=2\sin{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)}$$$$\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)}$$
オイラーの公式
オイラーの公式により、指数関数と三角関数が関係が示されます。
$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} -⑤$$
オイラーの公式より、以下の関係式は導かれます。
$$e^{2\pi i}=1$$$$e^{ix}=e^{i(x+2n\pi)}$$$$\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} -⑥$$$$\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} -⑦$$
［⑤の導出］
関数 $f(x)=e^{-ix}(\cos x +i\sin x)$ を定義します。両辺の微分をとると $f'(x)=0$ より、$f(x)$ は一定値となります。これより、$f(x)=f(0)=1$ と置き、両辺に $e^{ix}$ を掛けると⑤が得られます。
双曲線関数
双曲線関数は以下で定義されます。
$$\cosh{x}\equiv\frac{e^x+e^{-x}}{2} -⑧$$$$\sinh{x}\equiv\frac{e^x-e^{-x}}{2} -⑨$$$$\tanh{x}\equiv\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}$$
双曲線関数には以下の関係式が成り立ちます。以下の式は⑧と⑨より導くことができます。
$$e^x=\cosh{x}+\sinh{x}$$$$\cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1$$$$\sinh{x}=-i\sin{(ix)}$$$$\cosh{x}=\cos{(ix)}$$
双曲線関数の加法定理は以下になります。以下の式は⑧と⑨より導くことができます。
$$\sinh{(x+y)}=\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}$$$$\cosh{(x+y)}=\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}$$$$\sinh{x}+\sinh{y}=2\sinh{\Big(\frac{x+y}{2}\Big)}\cosh{\Big(\frac{x-y}{2}\Big)}$$$$\cosh{x}+\cosh{y}=2\cosh{\Big(\frac{x+y}{2}\Big)}\cosh{\Big(\frac{x-y}{2}\Big)}$$
