太陽風のパーカー理論とは

/プラズマ物理

2024.07.21

目次

パーカー理論
静的平衡の場合
動的平衡の場合
導出

パーカー理論

パーカー理論とは、太陽大気（プラズマ）の平衡について述べた理論です。太陽大気の動的平衡により、太陽風の存在を予言したことでも知られています。

パーカー理論では、以下の流体の運動方程式を使います。ここで流体とは電離した水素イオンガスで、 $N$ は単位体積当たりの粒子数、 $m$ は質量、 $v$ は速度、 $T$ は温度、 $M$ は太陽の質量、 $G$ は万有引力定数、 $k$ はボルツマン係数です。

$ρ \frac{\partial v}{\partial t} + ρ (v \cdot \nabla) v = - \nabla p + ρ K - ①$

$ρ = N m$ $p = N k T$ $K = - \frac{G M}{r^{2}}$

静的平衡の場合

静的平衡の場合、太陽大気の密度勾配による外向きの力（第１項）と、重力による内向きの力（第２項）が釣り合っているため、

$\frac{d}{d r} (N k T) + \frac{G M m N}{r^{2}} = 0 - ②$

この両辺を $r$ で積分すると以下になります（③を導く）。 $a$ は太陽の半径、 $N_{a}$ と $T_{a}$ は $r = a$ での値になります。

$N T = N_{a} T_{a} \exp (- \frac{G M m}{k} \int_{a}^{r} \frac{d r}{r^{2} T}) - ③$

$T$ は $r$ の関数で、 $r$ が大きくなると $T$ は減少しますが、

$T$ の減少が $1 / r$ より急である場合
$r \to \infty$ で右辺の積分は無限大になるため、 $N T \to 0$ となります。この場合、太陽プラズマは静的平衡が保たれます。
$T$ の減少が $1 / r$ より緩い場合
$r \to \infty$ で右辺の積分は有限になるため、 $N T > 0$ となります。この場合、静的平衡は保たれず、太陽プラズマは外向きに速度（太陽風）を持つ動的平衡が成り立ちます。

動的平衡の場合

動的平衡を仮定すると、①は以下のように表されます。第１項は運動量の移動による内向きの力を表します。動的平衡を仮定しているため、①の左辺第１項の時間微分は０になります。

$N m v \frac{d v}{d r} + \frac{d}{d r} (N k T) + \frac{G M m N}{r^{2}} = 0 - ④$

また、流体の質量の保存則に対応する式は以下になります。これは、ある立体角を単位時間に通過する粒子数が等しいことを表します。

$N v r^{2} = C (一定) - ⑤$

最終的に④は以下のように書き換えられます。ここで、音速を $c$ 、太陽表面（ $r = a$ ）での脱出速度を $u$ と置いています（⑥を導く）。

$(\frac{c^{2}}{v^{2}} - 1) \frac{d v}{d r} = \frac{a u^{2}}{2 v r^{2}} - \frac{2 c^{2}}{r v} - ⑥$

$d v / d r > 0$ であるため、⑥の両辺の符号は一致します。

$v < c : r_{c} < \frac{a u^{2}}{4 c^{2}}$ $v > c : r_{c} > \frac{a u^{2}}{4 c^{2}}$

以上より、太陽から一定距離 $r_{c}$ 離れると、太陽風の速度が音速を超えることが分かります。この距離を具体的に計算すると、温度100万度での音速は 170km/s、太陽の脱出速度は 617km/s であるため、

$r_{c} = \frac{a u^{2}}{4 c^{2}} ≅ 3.3 a$

これにより、太陽風は太陽半径の3.3倍の距離で音速を超えることが分かります。

導出

③を導く

②の両辺を（ $a, r$ ）の範囲で積分すると、

$\int_{a}^{r} \frac{1}{N T} \frac{d (N T)}{d r} d r = - \frac{G M m}{k} \int_{a}^{r} \frac{d r}{r^{2} T}$

左辺は、

$[\ln (N T)]_{a}^{r} = \ln (\frac{N T}{N_{a} T_{a}})$

であるから、従って、

$N T = N_{a} T_{a} \exp (- \frac{G M m}{k} \int_{a}^{r} \frac{d r}{r^{2} T})$

⑥を導く

⑤を④に代入して、 $N$ を消します。

$m v \frac{d v}{d r} + \frac{v r^{2}}{C} \frac{d}{d r} (\frac{C k T}{v r^{2}}) + \frac{G M m}{r^{2}} = 0$

次に音速 $c$ と、

$c^{2} \sim \frac{p}{ρ} = \frac{k T}{m}$

太陽表面での脱出速度 $u$ を代入すると、

$\frac{1}{2} m u^{2} - \frac{G m M}{a} = 0$ $u^{2} = \frac{2 G M}{a}$

以下が得られます。

$\frac{d v}{d r} + c^{2} r^{2} \frac{d}{d r} (\frac{1}{v r^{2}}) + \frac{a u^{2}}{2 v r^{2}} = 0$

これより⑥を得ることができます。

力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、量子力学、物性論、電子工学、プラズマ物理、連続体力学、場の量子論、弦理論

数学、応用数学、古典物理、量子力学、物性論、電子工学、IT、力学、電磁気学、熱・統計力学、連続体力学、解析学、代数学、幾何学、統計学、論理・基礎論、プラズマ物理、量子コンピュータ、情報・暗号、機械学習、金融・ゲーム理論

タイトルとURLをコピーしました