群の定義
群とは、ある代数的な算術（代数的構造）が定義された集合で、数学の基本的概念というだけでなく、物理学などの自然科学の分野に広く応用されています。群は、二項演算、単位元、逆元、結合法則の４つが成り立つ集合として定義されます。
群の定義を以下に整理します。「○」は成り立つことを、「－」は対象外であることを表します。
| 名称 | 二項演算 | 単位元 | 逆元 | 結合則 | 可換則 | 分配則 |
| 半群 | ○ | － | － | ○ | － | － |
| モノイド | ○ | ○ | － | ○ | － | － |
| 群 | ○ | ○ | ○ | ○ | － | － |
| 可換群 アーベル群 |
○ | ○ | ○ | ○ | ○ | － |
横軸の意味は以下になります。ここで、集合 $A$ の元 $a,b$ の演算を $a\cdot b$ で表します。
- 二項演算
任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b\in A$ が成り立つ。 - 単位元
任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot e=e\cdot a=a$ となる $e\in A$ が存在する。 - 逆元
任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ となる $a^{-1}\in A$ が存在する。 - 結合則
任意の $a,b,c\in A$ に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ が成り立つ。 - 可換則
任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b=b\cdot a$ が成り立つ。 - 分配則
任意の $a,b,c\in A$ の積と和に対して、$a(b+c)=ab+ac$ が成り立つ。
群の種類
部分群
群 $A$ の部分集合 $A’$ について、$A’$ 自身の乗法が群になる場合、$A’$ は $A$ の部分群と言います。群 $A$ の部分集合 $A’$ が部分群であるための必要十分条件は、以下になります。
任意の $a,b\in A’$ に対して、$ab\in A’$
かつ、
任意の $a\in A’$ に対して、$a^{-1}\in A’$
置換群（対象群）
置換群（対称群）とは、$n$ 個の文字の置換全ての集合です。置換 $\sigma$ を以下で定義すると、２つの置換の積 $\sigma\sigma’$ は群になります。
$$\sigma=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right)$$
置換の数は $n!$ であるため、置換群は有限個の元から構成されます（有限群）。
巡回群
巡回群とは、任意の元がある特定の元 $a$（生成元）の累乗 $a^k$（$k$ は整数）で表される集合です。
$$\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}=\{a^{k1},a^{k2},\cdots,a^{kn}\}$$
代表的な巡回群は１の累乗根で、自然数 $n$ に対して $a^n=1$ が成り立つ $a$ です。このとき $a$ は複素数で表され、最小の $n$ は $a$ の位数と呼ばれます。
直積群
直積群とは、２つの群 $A,B$ の元を組みとする群 $A\times B$ です。
任意の $a\in A,b\in B$ に対して、$ab=ba\in A\times B$
直交群：O(n)
直交群とは、直交行列の集合です。直交行列 $M$ は、$n$ 次元ユークリッド空間の長さを変えない変換を表し、以下の特徴を持ちます。
$$M^t=M^{-1}$$
回転群：SO(n)
回転群とは、ある軸の周りの回転の集合です。回転を表す行列 $R$ は以下の特徴を持ちます。
$R^t=R^{-1}$ かつ、$\mathrm{det}R=1$
回転操作は、方向余弦（ $\lambda,\mu,\nu$ ）方向の軸と角度 $\theta$ により以下で表されます。
$$R_\theta(\lambda,\mu,\nu)=R_{2\pi-\theta}(-\lambda,-\mu,-\nu)$$
$$R_\theta(0,0,1)=\left(\begin{array}{ccc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
尚、軸１の周りの角度 $\alpha$ の回転と軸２の周りの角度 $\beta$ の回転の合成は、軸３の周りの角度 $\gamma$ の回転で表すことができます。
$$R_\alpha(1)R_\beta(2)=R_\gamma(3)$$
また、同じ角度の回転は同じ類に属します。$Q$ を回転軸１から回転軸２への変換とすると、以下のように関係付けられます。
$$R_\theta(2)=QR_\theta(1)Q^{-1}$$
点群
点群とは、分子などの物体を不変に保つことができる対象操作の集合です。点群の対象操作には、以下の６つがあります。
- 恒等操作：何もしない。
- 回転操作：ある軸（対称軸）に対する回転。$2\pi/n$ の回転の軸のことを $n$ 回軸と呼びます。
- 鏡映操作：ある面（対称面）に対する面対称の移動。
- 反転操作：ある点（対称中心）に対する点対称の移動。
- 回映操作：ある軸（回映軸）に対して回転させた後、その軸に垂直な面に対して面対称の移動。
- 回反操作：ある軸（回反軸）に対して回転させた後、その軸上の一点に対して点対称の移動。
空間群
空間群とは、結晶構造を不変に保つことができる対象操作の集合です。空間群の対象操作は、点群の対象操作に並進操作（平行に移動）が加わります。
結晶構造の並進対称性により、結晶内の全ての原子の位置 ${\bf r}$ は、結晶構造の最小単位を表す基本ベクトル（${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$）の整数倍の和として表すことができます。
$${\bf r}=n_1{\bf a}_1+n_2{\bf a}_2+n_3{\bf a}_3$$
ユニタリ群：U(n)
ユニタリ群とは、ユニタリ行列の集合です。ユニタリ行列 $U$ は、$n$ 次元空間のベクトル ${\bf v}$ の直積 ${\bf v}^*\cdot{\bf v}$ を不変に保つ変換を表し、以下の特徴を持ちます。
$$U^\dagger=U^{-1}$$
特殊ユニタリ群：SU(n)
特殊ユニタリ群とは、行列式が１になるユニタリ行列の集合です。
$U^\dagger=U^{-1}$ かつ、$\mathrm{det}U=1$
