重力場の方程式
アインシュタインの重力場の方程式は、万有引力や重力場を記述するための方程式で、ニュートンの万有引力の法則を、強い重力場にも適用できるよう拡張されています。
物質が存在しない空間とは、重力以外どんな物理的な場も存在しない空間です。このときアインシュタイン方程式は、リッチテンソルを０とすることで表されます。
$$R_{ij}=0 －①$$
ここでリッチテンソルは、リーマン曲率テンソルの縮約によって求められます。ここで、カンマ（,）は微分 $A_{,i}\equiv\partial A/\partial x^i$ を表します。
$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$
ニュートン近似
ニュートン近似のため、次の３つの仮定を置きます。
- 重力場は静的である。
⇒計量の時間微分を０とする（$g_{ij,0}=0$） - 重力場の曲率は小さい。
⇒クリトッフェル記号を１次の微小量として、２次の項を省略する。 - 光速に比べ遅い速度とする。
⇒速度（$v^i=dx^i/ds$）を１次の微小量として、２次の項を省略する。
運動方程式のニュートン近似
運動方程式は、以下の測地線の方程式として与えられます。
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0 -②$$
これにニュートン近似を行うと以下が得られます。
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}=\frac{1}{2}c^2\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i} -③$$
これは、重力ポテンシャルを $V$ としたときのニュートン方程式を表しています。
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{\partial V}{\partial x^i}$$
これと③が近似的に同じ運動を与えるための条件として、
$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\frac{1}{2}c^2g_{00}-V\Big)=0$$
括弧の中を定数として値を調整すると以下が得られます。
$$g_{00}=1+\frac{2V}{c^2} -④$$
尚、重力ポテンシャルは以下で表されます。
$$V=-\frac{Gm}{r}$$
③を導く
仮定３より、速度（$v^i$）の大きさを無視すると、
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{00}\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^0}{ds}=0 -(1)$$
まず $dt/ds\simeq 1$ で書き換えると、
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}\simeq\frac{d^2x^i}{dt^2}$$
$$\frac{dx^0}{ds}\simeq c$$
クリストッフェル記号は仮定１より、
$$\Gamma^i_{00}=g^{ij}\Gamma_{j00}=-\frac{1}{2}g_{00,i}$$
これらを(1)に代入すると、
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}-\frac{1}{2}c^2g_{00,i}=0$$
これより③が得られます。
重力場のニュートン近似
アインシュタイン方程式①は、仮定１により、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0 -⑤$$
$i=j=0$ とて、仮定３により以下になります。
$$g^{kl}\frac{\partial^2g_{00}}{\partial x^k\partial x^l}=0 -⑥$$
ここで、$g_{00}$ を④と置くと以下が得られます。
$$g^{kl}\frac{\partial^2V}{\partial x^k\partial x^l}=0 －⑦$$
これより、$V$ はラプラスの方程式を満たし、運動方程式のポテンシャルの役割りを果たすことが分かります。
$$\nabla^2V=0$$
⑤の導出
①をリーマン曲率テンソルで表すと以下になります。
$$R_{ij}=R^k_{ijk}=g^{kl}R_{lijk}=0 -(2)$$
リーマン曲率テンソルは仮定３により以下になります。
$$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}$$$$=g_{lm}\Big(\frac{\partial\Gamma^m_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^m_{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^n_{ik}\Gamma^m_{nj}-\Gamma^n_{ij}\Gamma^m_{nk}\Big)$$$$\cong\frac{\partial\Gamma_{lik}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{lij}}{\partial x^k}$$
クリストッフェル記号の定義を代入すると、
$$=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\Big)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)$$$$=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)$$
これを (2) に代入すると、⑤が得られます。
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0$$
ここで、$i=j=0$ とすると、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^0\partial x^0}-\frac{\partial^2g_{0k}}{\partial x^l\partial x^0}-\frac{\partial^2g_{l0}}{\partial x^0\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{00}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0$$
仮定により、計量の時間微分は０になるため、⑥が導かれます。
