微分の定義
微分とは、関数などの値の変化率を測るものです。関数 $f(x)$ の微分は次のように定義されます。
$$\frac{dy(x)}{dx}=\lim_{h \to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$$
初等関数の微分
べき関数
べき関数の微分は以下になります。
$$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}$$
導出
べき関数の微分は定義から求めることができます。$(x+h)^a$ をテイラー展開して、$h\to0$ としています。
$$\frac{d}{dx}(x^a)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^a-x^a}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[x^a\Big(1+\frac{ah}{x}+\frac{a(a-1)h^2}{x^2}+\cdots\Big)-x^a\right]=ax^{a-1}$$
指数関数
指数関数の微分は以下になります。
$$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x \ln{a}$$$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$
導出
$a^h-1=1/t$（$h\to0$ で $t\to\infty$）と置くと、
$$h=\log_a\Big(1+\frac{1}{t}\Big)$$
微分の定義より、
$$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$$$$=
a^x\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t\log_a\Big(1+\frac{1}{t}\Big)}=a^x\frac{1}{\log_ae}=a^x\ln{a}$$
途中、次のネイピア数の定義を使っています。
$$\lim_{t\to\infty}\Big(1+\frac{1}{t}\Big)^t=e$$
対数関数
対数関数の微分は以下になります。
$$\frac{d}{dx}\left(\log_ax\right)=\frac{1}{x\ln{a}}$$$$\frac{d}{dx}\left(\ln{x}\right)=\frac{1}{x}$$
導出
$\log_a{x}=y$ と置くと、$x=a^y$ であるから、両辺を $x$ で微分すると、
$$1=\frac{dy}{dx}a^y\ln{a}=\frac{dy}{dx}x\ln{a}$$
自然対数の場合は、$a=e$ と置くと得られます。
三角関数
三角関数の微分は以下になります。
$$\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}$$$$\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}$$$$\frac{d}{dx}(\tan{x})=\frac{1}{\cos^2{x}}$$
導出
微分の定義式より、
$$\frac{d}{dx}(\sin{x})=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{2\cos{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}=\cos{x}$$
$$\frac{d}{dx}(\cos{x})=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{-2\sin{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}=-\sin{x}$$
ここで、次の近似を使っています。
$$\lim_{h\to0}\Big(\sin{\frac{h}{2}}\Big)=\frac{h}{2}$$
尚、$\tan$ については以下の計算より得られます。
$$\frac{d}{dx}(\tan{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\Big)$$
双曲線関数
双曲線関数の微分は以下になります。
$$\frac{d}{dx}(\sinh{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\Big)=\cosh{x}$$
$$\frac{d}{dx}(\cosh{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)=\sinh{x}$$
$$\frac{d}{dx}(\tanh{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\Big)=\frac{1}{\cosh^2{x}}$$
$\tanh$ の計算では以下の関係式を使っています。
$$\cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1$$
