テイラー展開
テイラー展開とは、任意の関数を、その関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和（級数）として表したものです。
関数 $f(x)$ が区間（$a,b$）で $n$ 回微分可能であれば、以下のように表すことができます。
$$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f^{(2)}(a)+$$$$\cdots+\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+R_n -①$$
$$R_n=\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c) (a\le c\le b)$$
導出
テイラー展開①より、
$$f(b)-f(a)-\sum_{r=1}^{n-1}\frac{(b-a)^r}{r!}f^{(r)}(a)-\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)=0$$
ここで、$x=a$ として次の関数を定義し、
$$\phi(x)\equiv f(b)-f(x)-\sum_{r=1}^{n-1}\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r)}(x)-\frac{(b-x)^n}{n!}K$$
$a\le x\le b$ に対して以下が成り立つことを証明します。
$$K=f^{(n)}(x) -②$$
証明にはロルの定理を使います。ロルの定理とは、関数 $y(x)$ が区間（$a,b$）で微分可能であり、$y(a)=y(b)=0$ であれば、$y'(c)=0$ となる $c$（$a\le c\le b$）が存在するというものです。
$\phi(x)$ について微分すると、
$$\phi'(x)=-f'(x)-\frac{d}{dx}\sum_{r=1}^{n-1}\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r)}(x)+\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}K -(1)$$
この右辺第３項は、
$$-\frac{d}{dx}\sum_{r=1}^{n-1}\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r)}(x)$$$$=-\sum_{r=1}^{n-1}\Big(-\frac{(b-x)^{r-1}}{(r-1)!}f^{(r)}(x)+\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r+1)}(x)\Big)$$$$=f'(x)-\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}f^n(x)$$
これを(1)に代入すると、
$$\phi'(x)=-\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\Big(f^{(n)}(x)-K\Big)$$
定義より $\phi(a)=\phi(b)=0$ であるから、ロルの定理より $\phi'(x)=0$ となり、②が成り立つことが分かります。
マクローリン展開
マクローリン展開とは、関数 $f(x)$ の $x=0$ での導関数の値から計算される項の無限和として表したものです。テイラー展開から、$a=0$、$b=x$ として得ることができます。
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+$$$$\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{(n-1)}+R_n$$
$$R_n=\frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n$$
初等関数の級数展開
マクローリン展開を使って初等関数を級数展開します。
指数関数
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$
対数関数
$$\ln{(1+x)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (|x|<1)$$
三角関数
$$\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$
$$\cos{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$
$$\tan{x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$
双曲線関数
$$\sinh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$
$$\cosh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$
$$\tanh{x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$
