テイラー展開
テイラー展開とは、関数をある点における導関数の値を用いて多項式で近似する方法です。テイラーの定理では、関数 $f(x)$ が区間（$a,b$）で $n$ 回微分可能であれば、有限次の多項式と剰余項 $R_n$ で関数を表すことができます。
$$f(b)=\sum_{r=0}^{n-1}\frac{(b-a)^r}{r!}f^{(r)}(a)+R_n -①$$$$=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f^{(2)}(a)+\cdots+\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+R_n$$$$R_n=\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c) (a\le c\le b)$$
以下のような適切な条件のもとでは、
$$\lim_{n\to\infty}R_n=0$$
元の関数を無限級数（テイラー級数）として表すことができます。局所的にテイラー級数に一致する関数を解析関数と呼びます。
$$f(b)=\sum_{r=0}^\infty\frac{(b-a)^r}{r!}f^{(r)}(a)$$
①の導出
まず $K$ を定義し、
$$K=\frac{n!}{(b-a)^n}\Big(f(b)-\sum_{r=0}^{n-1}\frac{f^{(r)}(a)}{r!}(b-a)^r\Big)$$
関数 $\phi$ を定義すると、
$$\phi(x)\equiv f(b)-f(x)-\sum_{r=1}^{n-1}\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r)}(x)-\frac{(b-x)^n}{n!}K$$$$\phi'(x)=-f'(x)+\sum_{r=1}^{n-1}\Big(\frac{(b-x)^{r-1}}{(r-1)!}f^{(r)}(x)-\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r+1)}(x)\Big)+\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}K$$$$=-\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\Big(f^{(n)}(x)-K\Big)$$
$K$ の定義より $\phi(a)=\phi(b)=0$ となるため、ロルの定理より $\phi'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ が存在します。これより、
$$K=f^{(n)}(c)$$
これを $K$ の定義に戻せば①が得られます。
$$f(b)=\sum_{r=0}^{n-1}\frac{f^{(r)}(a)}{r!}(b-a)^r+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)$$
マクローリン展開
マクローリン展開とは、関数 $f(x)$ の $x=0$ での導関数の値から計算される項の無限和として表したものです。テイラー展開から、$a=0$、$b=x$ として得ることができます。
$$f(x)=\sum_{r=0}^{n-1}\frac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r+R_n$$$$=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{(n-1)}+R_n$$$$R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n (0\le c\le x)$$
以下のような適切な条件のもとでは、
$$\lim_{n\to\infty}R_n=0$$
元の関数を無限級数（テイラー級数）として表すことができます。
$$f(x)=\sum_{r=0}^\infty\frac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r$$
初等関数の級数展開
マクローリン展開を使って初等関数を級数展開します。各関数の収束半径は以下になります。
| 関数 | 収束半径 |
| $e^x, \sin{x}, \cos{x}, \sinh{x}, \cosh{x}$ | $\infty$ |
| $\tan{x},\tanh{x}$ | $\pi/2$ |
| $\log{(1+x)}$ | $1$ |
指数関数
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$
対数関数
$$\log{(1+x)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (|x|<1)$$
三角関数
$$\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$$$\cos{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$$$\tan{x}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$
ここではベルヌーイ数です。
$$B_2=\frac{1}{6} , B_4=-\frac{1}{30} , B_6=\frac{1}{42}$$
双曲線関数
$$\sinh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$$$\cosh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$$$\tanh{x}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$
