ニュートン法とは - 理数の散策路

ニュートン法

ニュートン法とは、高次方程式の根（ゼロ点）を求めるための数値計算法です。ニュートン法は、関数が単調に増加または減少している範囲で有効な方法です。

関数 $f (x)$ の根を $α$ 、つまり $f (α) = 0$ とします。根の付近の適当な点 $a_{1}$ について、 $a_{2}$ を計算します。

$a_{2} = a_{1} - \frac{f (a_{1})}{f^{'} (a_{1})} - ①$

同様に $a_{2}$ から次の $a_{3}$ を計算します。

$a_{3} = a_{2} - \frac{f (a_{2})}{f^{'} (a_{2})}$

これを繰り返すと、点 $a_{n}$ は限りなく根 $α$ に近づいていきます。そして、 $x_{n}$ の変化量が許容誤差範囲 $ϵ$ 未満になれば、そこで計算を止め、 $a_{n}$ を根と考えます。

$| a_{n} - a_{n - 1} | < ϵ$ 　ならば、 $α = a_{n}$

テイラー展開より、

$f (b) = f (a) + (b - a) f^{'} (a) + \frac{1}{2} (b - a)^{2} f^{(2)} (a) + \dots$

$b$ を根、つまり $f (b) = 0$ とします。 $a$ を根の付近とすると、右辺の第３項以降は無視できるため、

$0 = f (a) + (b - a) f^{'} (a)$

従って、以下の $b$ を根の近似解と考えることができます。

$b = a - \frac{f (a)}{f^{'} (a)}$

２分法とは、根が存在する範囲を適当に定め、その範囲を狭めていくことで根を求める手法です。２分法も、関数が単調に増加または減少している範囲で有効な方法です。

関数 $f (x)$ の根を $α$ とし、根の付近の適当な範囲［ $a_{1}$ 、 $b_{1}$ ］について、中間点 $c_{1}$ を計算します。

$c_{1} = \frac{a_{1} + b_{1}}{2}$

この中間点について、

$f (a_{1}) f (c_{1}) > 0$ 　であれば、 $a_{2} = c_{1}$ 、 $b_{2} = b_{1}$
$f (a_{1}) f (c_{1}) < 0$ 　であれば、 $a_{2} = a_{1}$ 、 $b_{2} = c_{1}$

同様に $a_{2}$ 、 $b_{2}$ から次の $c_{2}$ を計算します。

$c_{2} = \frac{a_{2} + b_{2}}{2}$

これを繰り返すと、範囲［ $a_{n}$ 、 $b_{n}$ ］は限りなく狭められていきます。そして、範囲［ $a_{n}$ 、 $b_{n}$ ］が許容誤差範囲 $ϵ$ 未満になれば、そこで計算を止め、その中間点を根と考えます。

$| a_{n} - b_{n} | < ϵ$ 　ならば、
$α = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$