経路積分とは、波動関数の時間発展を、途中の無限の経路を足し合わせることで求める手法です。ファインマンにより考案されたため、ファインマンの経路積分とも呼ばれます。
積分核
波動関数は、次のシュレディンガー方程式により時間変化を行います。
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=H\psi(q,t)$$
これを積分の形で書くと、積分核（ファインマン核）$K$ を使って以下のように表すことができます。
$$\psi(q,t)\equiv\int_{-\infty}^\infty K(q,t,q_0,t_0)\psi(q_0,t_0)dq_0 -①$$
従って、積分核の具体的な表式が分かれば、この積分を行うことで任意の時間の波動関数を求めることができます。積分核を求めることは、シュレディンガー方程式を解くことに等しいと考えることができます。
時間発展演算子
時間発展演算子 $U$ は、波動関数の時間依存を表し、以下で定義されます。
$$\ket{\psi(t)}\equiv U(t,t_0)\ket{\psi(t_0)} -②$$
これを次のシュレディンガー方程式に代入すると、次の式が得られ、
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0) -③$$
これを積分すると以下になります。
$$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hbar} -④$$
時間発展演算子は、ユニタリ性を持ちます。
$$U^*(t,t_0)=U^{-1}(t,t_0)=U(t_0,t)$$$$U(t,t)=1$$
これより、波動関数の２乗の積分は、時間に依らず一定であることが導かれます。
$$\braket{\psi(t)|\psi(t)}=\braket{\psi(t_0)|U^*(t,t_0)U(t,t_0)|\psi(t_0)}$$$$=\braket{\psi(t_0)|\psi(t_0)}$$
積分核の性質
積分核は、時間発展演算子により次のように表すことができます。（⑤の導出）
$$K(q,t,q_0,t_0)=\braket{q|U(t,t_0)|q_0} -⑤$$
これより、積分核は以下の特注を持つことが分かります。
- 積分核はシュレディンガー方程式（運動方程式）を満たす。
これは、⑤と③より以下が得られることから分かります。
$$\Big(H-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Big)K(q,t,q_0,t_0)=0$$ - 積分積は時刻 $t$ での波動関数と解釈できる。
⑤で $t\to t_0$ とすると以下になり、時刻 $t_0$ で電子が座標 $q_0$ に局在していることを表します。
$$\lim_{t\to t_0}K(q,t,q_0,t_0)=\braket{q|q_0}=\delta(q-q_0)$$ - 電子が $q_0\to q’\to q$ と伝搬する場合、あらゆる中間点 $q’$ の可能性について積分する必要がある。
$$K(q,t,q_0,t_0)=\braket{q|U(t,t_0)|q_0}$$$$=\int_{-\infty}^\infty dq’\braket{q|U(t,t’)|q’}\braket{q’|U(t’,t_0)|q_0}$$$$=\int_{-\infty}^\infty dq’K(q,t,q’,t’)K(q’,t’,q_0,t_0)$$
経路積分
時間間隔（$t_0,t$）を $N$ 分割して、$\Delta t=(t-t_0)/N$ 、$\Delta q_j=q_{j+1}-q_j$ と置き、ハミルトニアンを次のように表すと、
$$H=T(p_j)+V(q_j)$$
経路積分は以下のように表すことができます。（⑥の導出）（⑦の導出）
$$K(x,t,x_0,t_0)=\lim_{N\to\infty}\int_{-\infty}^\infty dq_1\cdots dq_{N-1}\int_{-\infty}^\infty\frac{dp_0\cdots dp_{N-1}}{2\pi\hbar}$$$$\times\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\Big(\frac{p_j\Delta q_j}{\Delta t}-T(p_j)-V(q_j)\Big)\right)} -⑥$$$$\simeq\int\delta q(\tau)\exp{\Big(\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tL(q,\dot{q},\tau)d\tau\Big)} -⑦$$
ここで $L$ はラグラジアンを表します。
$$L(q,\dot{q},\tau)\equiv\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q)$$
式の導出
⑤を導く
①の左辺を書き換えると、
$$\psi(q,t)=\braket{q|\psi(t)}=\braket{q|U(t,t_0)\psi(t_0)}$$$$=\int_{-\infty}^\infty\braket{q|U(t,t_0)|q_0}\braket{q_0|\psi(t_0)}dq_0$$$$=\int_{-\infty}^\infty\braket{q|U(t,t_0)|q_0}\psi(q_0,t_0)dq_0$$
これと①の右辺を比べると、⑤が成り立つことが分かります。
⑥を導く
時間発展演算子を $\Delta t$ を使って書き換えると、
$$U(t,t_0)=e^{-iHN\Delta t/\hbar}=(e^{-i(T+V)\Delta t/\hbar})^N$$
尚、$\hat{T}$ 、$\hat{V}$ を演算子とすると、一般に次の公式が成り立ちます。（⑧を導く）
$$e^{k(\hat{T}+\hat{V})}=e^{k\hat{T}}e^{k\hat{V}}e^{-k^2[\hat{T},\hat{V}]/2} -⑧$$
ここで、$k=-i\Delta t/\hbar$ とすると、$N\to\infty$ の場合、$k^2$ は無視できるため、時間発展演算子は次のように近似できます。
$$U(t,t_0)\cong(e^{-i\hat{T}\Delta t/\hbar}e^{-i\hat{V}\Delta t/\hbar})^N$$
⑤より積分核は、
$$K(q,t,q_0,t_0)=\lim_{N\to\infty}\braket{q|(e^{-i\hat{T}\Delta t/\hbar}e^{-i\hat{V}\Delta t/\hbar})^N|q_0}$$
次の完備性の関係を使うと、
$$\int dq_j\ket{q_j}\bra{q_j}=1$$$$\int dp_j\ket{p_j}\bra{p_j}=1$$
積分核は以下のように書き換えられます。
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\braket{q_{j+1}|e^{-i\hat{T}\Delta t/\hbar}e^{-i\hat{V}\Delta t/\hbar}|q_j}$$$$=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int dp_j\braket{q_{j+1}|e^{-i\hat{T}\Delta t/\hbar}|p_j}\braket{p_j|e^{-i\hat{V}\Delta t/\hbar}|q_j}$$
演算子の固有値を次のように置くと、
$$e^{-i\hat{T}\Delta t/\hbar}\ket{p_j}=e^{-iT(p_j)\Delta t/\hbar}\ket{p_j}$$$$e^{-i\hat{V}\Delta t/\hbar}\ket{q_j}=e^{-iV(q_j)\Delta t/\hbar}\ket{q_j}$$
これにより積分核は、
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int dp_je^{-i[T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}\braket{q_{j+1}|p_j}\braket{p_j|q_j}$$
ここで、次の関係式を使うと、
$$\braket{q_{j+1}|p_j}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip_jq_{j+1}/\hbar}$$$$\braket{p_j|q_j}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ip_jq_j/\hbar}$$
これにより積分核は、
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int\frac{dp_j}{2\pi\hbar}e^{ip_j(q_{j+1}-q_j)/\hbar}e^{-i[T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}$$
指数関数の積を指数の和で書き換え、$\Delta q_j=q_{j+1}-q_j$ と置くと、
$$K=\lim_{N\to\infty}\prod_{j=1}^{N-1}\Big(\int dq_j\Big)\prod_{j=0}^{N-1}\Big(\int\frac{dp_j}{2\pi\hbar}\Big)e^{i\sum p_j\Delta q_j/\hbar}e^{-i\sum [T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}$$
これにより⑥が得られます。
⑦を導く
⑥の運動エネルギーを、
$$T(p_j)=\frac{p_j^2}{2m}$$
と置くと、
$$\frac{p_j^2}{2m}-\frac{p_j\Delta q_j}{\Delta t}=\frac{1}{2m}\Big(p_j-m\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2-\frac{m}{2}\Big(\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2$$
ここで公式
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-iax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{ia}}$$
を使うと、
$$\int_{-\infty}^\infty dp_j\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\Big(\frac{p_j\Delta q_j}{\Delta t}-T(p_j)\Big)\right)}$$
$$=\int_{-\infty}^\infty dp_j\exp{\left(-\frac{i\Delta t}{2m\hbar}\Big(p_j-m\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2\right)}\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\frac{m}{2}\Big(\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2\right)}$$
$$=\sqrt{\frac{2\pi m\hbar}{i\Delta t}}\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\frac{m}{2}\Big(\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2\right)}$$
これより⑥は、
$$K=\lim_{N\to\infty}\Big(\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}\Big)^{N/2}\prod_{j=1}^{N-1}\Big(\int_{-\infty}^\infty dq_j\Big)\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\Big[\frac{m}{2}\Big(\frac{\Delta q_j}{\Delta t}\Big)^2-V(q_j)\Big]\right)}$$
ここで以下のように置くと、
$$\lim_{N\to\infty}\Big(\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}\Big)^{N/2}\prod_{j=1}^{N-1}\Big(\int_{-\infty}^\infty dq_j\Big)\equiv\int\delta q$$
以下のように表せます。
$$K=\int\delta q\exp{\left(\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\Big(\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q)\Big)d\tau\right)}$$
⑧を導く
$\hat{T}$ 、$\hat{V}$ を演算子とすると、
$$e^{k\hat{T}}\hat{V}e^{-k\hat{T}}=(1+k\hat{T}+\cdots)\hat{V}(1-k\hat{T}+\cdots)$$$$\cong\hat{V}+k[\hat{T},\hat{V}] -(1)$$
関数 $f$ を以下で定義して、
$$f(k)=e^{k\hat{T}}e^{k\hat{V}}$$
これを微分して、(1)を使うと、
$$f'(k)=\hat{T}e^{k\hat{T}}e^{k\hat{V}}+e^{k\hat{T}}\hat{V}e^{k\hat{V}}$$$$=(\hat{T}+e^{k\hat{T}}\hat{V}e^{-k\hat{T}})e^{k\hat{T}}e^{k\hat{V}}$$$$=(\hat{T}+\hat{V}+k[\hat{T},\hat{V}])f(k)$$
これを積分すると、
$$f(k)=e^{k(\hat{T}+\hat{V})+k^2[\hat{T},\hat{V}]/2}$$
関数 $f$ の定義より⑧が求められます。
