環論とは - 理数の散策路

環の定義

環（ring）とは、加法（和）および乗法（積）の２種類の二項演算を備えた代数系で、整数と似た性質を持ちます。環は、二項演算、単位元（乗法のみ）、結合則（乗法のみ）、可換則（加法のみ）、分配則が成り立つ集合として定義されます。

環と群との比較を以下に整理します。「○」は成り立つことを、「－」は対象外であることを表します。乗法を含めて可換則が成り立つ環を、可換環と呼びます。

横軸の意味は以下になります。ここで、集合 $A$ の元 $a,b$ の演算を $a\cdot b$ で表します。

有理整数環とは、一般に整数（$0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots$）のことを指し、加法と乗法について環になります。

イデアルとは、環の部分集合であり、整数全体（環）に対するの偶数や３の倍数の集合の持つ性質を一般化したものです。イデアル $I$ は、環 $R$ に対して以下の条件が成り立ちます。

1. と 2.（右から $r$ を掛ける）が成り立つ場合は右イデアル、1. と 3.（左から $r$ を掛ける）が成り立つ場合を左イデアルと呼びます。また、可換環であれば全てが成り立ち、両側イデアル（または単にイデアル）と呼ばれます。

剰余環は、環 $R$ とイデアル $I$ により $R/I$ で表されます。剰余環の元を $a+I\in R/I$（$a\in R$）とすると、合同式により以下で表されます。

$$a+I\equiv a\pmod{I}$$

積を以下で定義すると、

$$(a+I)(b+I)=ab+I$$

積もまた剰余環になり、結合則と分配則は明らかに成り立ちます。また、単位元は $1+I$ となることが分かります。