ブロッホの定理とは
ブロッホの定理とは、結晶格子のような周期的なポテンシャルの場合に、シュレディンガー方程式の解（ブロッホ関数）が満たす特徴を表した定理です。
ブロッホ関数
シュレディンガー方程式の固有関数 $\psi$ は、次のような形で表されます。ここで、${\bf k}$ は波数ベクトルです。
$$\phi({\bf r})=\sum_{\bf k}u_{\bf k}({\bf r})e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} -①$$
このとき、$u_k$ は結晶格子の周期性をもつ関数で、並進ベクトル ${\bf R}$（$=n_1{\bf a}_1+n_2{\bf a}_2+n_3{\bf a}_3$）に対して以下が成り立ちます。
$$u_k({\bf r}+{\bf R})=u_k({\bf r}) -②$$
これらより、次のようにも表すこともできます。
$$\phi({\bf r}+{\bf R})=e^{i{\bf k}\cdot{\bf R}}\phi({\bf r})$$
周期的ポテンシャル
周期的なポテンシャルエネルギー $V$ を仮定すると、
$$V({\bf r}+{\bf R})=V({\bf r})$$
次の並進ベクトルと逆格子ベクトル（${\bf G}$）の関係より、
$$e^{i{\bf G}\cdot{\bf R}}=1 -③$$
ポテンシャルエネルギーは、以下のようにフーリエ展開することができます。
$$V({\bf r})=\sum_{\bf G}V_{\bf G}e^{i{\bf G}\cdot{\bf r}} -④$$
ブロッホの定理を導く
周期的な結晶格子の場合、波動関数が①と②の形をもつことを導きます。
$N$ 個の原子が間隔 $a$ で並ぶ１次元のリング状の結晶格子を考えます。このとき、波動関数は長さ $L$（$=Na$）の周期的境界条件をもつため、以下のようにフーリエ展開することができます。
$$\phi(x)=\sum_kC(k)e^{ikx} -⑤$$
ここで、波数ベクトル $k$ は次のような値をもちます。$\lambda$ は波長を表します。
$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi n}{L}=\frac{2\pi n}{Na}$$
格子間隔が $a$ であれば、$m$ を整数として、逆格子ベクトルは次のように表されるため、
$$G=\frac{2\pi m}{a}$$
任意の波数ベクトルに逆格子ベクトルを加えると、
$$k’=k+G=\frac{2\pi n}{Na}+\frac{2\pi m}{a}=\frac{2\pi}{Na}(n+mN)$$$$n’=n+mN$$
従って、波数ベクトルに逆格子ベクトルを加えても、⑤のフーリエ展開に含まれるため、書き替えることができます。
$$\phi(x)=\sum_kC(k+G)e^{i(k+G)x}$$
ここで、関数 $u$ を次のように定義すると、
$$\phi(x)=\sum_ku_k(x)e^{ikx}$$$$u_k(x)\equiv C(k+G)e^{iGx}$$
③より、並進操作に対して不変（②）であることが分かります。
$$u_k(x+R)=C(k+G)e^{iG(x+R)}$$$$=C(k+G)e^{iGx}=u_k(x)$$
