光円錐座標とは

光円錐座標

光円錐（light cone）とは、１点から発せられた光が時空上に描く軌跡を指します。光円錐座標とは、この光の進む方向に座標軸をとった座標系です。

４次元時空間を（$x_0,x_1,x_2,x_3$）とすると、光円錐座標（$x_{+},x_{-},x_2,x_3$）は以下で定義されます。

$$x_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_0+x_1)$$$$x_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_0-x_1)$$

このとき、任意のベクトル $\mathbf{a}$ も次のように定義することができ、

$$a_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(a_0+a_1)$$$$a_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(a_0-a_1)$$

任意ベクトル $\mathbf{b}$ との積は以下のように表すことができます。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$$$=-2a_{+}{b}_{-}+a_2{b}_2+a_3{b}_3 -\mathrm{①}$$

法線方向と横方向の座標

光円錐座標の場合、超平面の法線 $n_{\mu }$ を以下で表すと、

$$n_{\mu }=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,\cdots ,0)$$

弦の法線方向の座標と運動量は次のようになります。

$$n\cdot X=\frac{X^0+X^1}{\sqrt{2}}=X^{+}$$$$n\cdot p=\frac{p^0+p^1}{\sqrt{2}}=p^{+}$$

以下は、弦の座標と運動量を以下のように置き換えます。尚、横方向座標を添え字 $I$ を使って表します。

$$X=(X^{+},X^{-},X^I)$$$$X^I\equiv (X^2,\cdots ,X^d)$$

$$p=(p^{+},p^{-},p^I)$$$$p^I\equiv (p^2,\cdots ,p^d)$$

これらを使って各関係式を書き替えます。

一般化されたパラメータ付け

開弦の一般化されたパラメータ付けは、

$$n\cdot X=\beta {\alpha }^{\prime }(n\cdot p)\tau$$$$n\cdot p=\frac{2\pi }{\beta }(n\cdot P^{\tau })$$

光円錐座標の場合、以下のように書き換えることができます。

$$X^{+}=\beta {\alpha }^{\prime }{p}^{+}\tau -\mathrm{②}$$$$p^{+}=\frac{2\pi }{\beta }{P}^{\tau +} -\mathrm{③}$$

制約条件

パラメータ付けの制約条件、

$$(\dot{X}\pm X^{\prime }{)}^2=0 -\mathrm{④}$$

に光円錐座標を適用すると、以下のように書き換えられます（⑤の導出）。

$${\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘}=\frac{1}{2\beta {\alpha }^{\prime }{p}^{+}}({\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }}{)}^2 -\mathrm{⑤}$$

弦のモード展開

弦のモード展開は、

$$X^{\mu }(\tau ,\sigma )=x_0^{\mu }+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^{\mu }\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{{\alpha }_n^{\mu }}{n}{e}^{-in\tau }\cos n\sigma$$

光円錐座標の場合、以下のように書き換えられます。

$$X^{+}(\tau ,\sigma )=\beta {\alpha }^{\prime }{p}^{+}\tau =\beta {\alpha }_0^{+}\sqrt{\frac{{\alpha }^{\prime }}{2}}\tau$$$$X^{-}(\tau ,\sigma )=x_0^{-}+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^{-}\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{{\alpha }_n^{-}}{n}{e}^{-in\tau }\cos n\sigma$$$$X^I(\tau ,\sigma )=x_0^I+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^I\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{{\alpha }_n^I}{n}{e}^{-in\tau }\cos n\sigma$$

尚、最初の式は②に${\alpha }_0^{+}=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{p}^{+}$ を使っています。

導関数の線形展開

導関数の線形展開は、

$${\dot{X}}^{\mu }\pm X^{{\mu }^{\prime }}=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n^{\mu }{e}^{-in(\tau \pm \sigma )}$$

光円錐座標の場合、以下のように書き換えられます（⑦の導出）。

$${\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘}=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n^{-}{e}^{-in(\tau \pm \sigma )} -\mathrm{⑥}$$$$=\frac{1}{p^{+}}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{L}_n^{\mathrm{\perp }}{e}^{-in(\tau \pm \sigma )} -\mathrm{⑦}$$$${\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }}=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n^I{e}^{-in(\tau \pm \sigma )} -\mathrm{⑧}$$

尚、⑦は次の横方向のヴィラソロモードを使っています。

$$L_n^{\mathrm{\perp }}\equiv \frac{1}{\beta }\sum _m{\alpha }_{n-m}^I{\alpha }_m^I -\mathrm{⑨}$$

式の導出

⑤の導出

④を①を使って展開すると、

$$-2({\dot{X}}^{+}\pm X^{{+}^{\prime }})({\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘})+({\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }}{)}^2=0$$

②より次のことが分かるので、

$${\dot{X}}^{+}=\beta {\alpha }^{\prime }{p}^{+}$$$$X^{{+}^{\prime }}=0$$

これに代入すると⑤が得られます。

$$-2\beta {\alpha }^{\prime }{p}^{+}({\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘})+({\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }}{)}^2=0$$

⑦の導出

⑤の右辺に⑧を代入すると、

$${\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘}=\frac{1}{\beta p^{+}}\sum _{l,m}{\alpha }_l^I{\alpha }_m^I{e}^{-il(\tau \pm \sigma )}{e}^{-im(\tau \pm \sigma )}$$

ここで $n=l+m$（$l=n-m$）と置くと、

$${\dot{X}}^{-}\pm X^{-‘}=\frac{1}{\beta p^{+}}\sum _n{\alpha }_{n-m}^I{\alpha }_m^I{e}^{-in(\tau \pm \sigma )}$$

これに⑨を代入すると⑦が得られます。

物理学

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