球座標
球座標は変数（$r,\theta,\phi$）で表されます。尚、$\theta$ は $z$ 軸からの角度（$0\sim\pi$）、$\phi$ は $z$ 軸回り（$0\sim2\pi$）に取ります。座標変換は以下で表されるため、
$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$$$z=r\cos{\theta}$$
直交曲線座標の計量は以下で定義されているため、
$$h_j^2=\sum_i\Big(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\Big)^2 －①$$
球座標での計量は以下になります。
$$h_1^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial r}\Big)^2=1$$$$h_2^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\theta}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\theta}\Big)^2=r^2$$$$h_3^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\phi}\Big)^2=r^2\sin^2{\theta}$$$$(h_1,h_2,h_3)=(1,r,r\sin{\theta})$$
微小体積
極座標の微小体積は以下で表されます。
$$dxdydz=r^2\sin{\theta}drd\phi d\phi$$
勾配（$\mathrm{grad}$）
極座標の勾配は以下で表されます。
$$\mathrm{grad}f=\Big(\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta},\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial f}{\partial\phi}\Big)$$
分散（$\mathrm{div}$）
極座標の分散は以下で表されます。
$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial(r^2A_1)}{\partial r}+r\frac{\partial(\sin{\theta}A_2)}{\partial\theta}+r\frac{\partial A_3}{\partial\phi}\Big)$$
回転（$\mathrm{rot}$）
極座標の回転は以下で表されます。
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_r=\frac{1}{r\sin{\theta}}\Big(\frac{\partial(\sin{\theta}A_3)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_2}{\partial\phi}\Big)$$
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\theta=\frac{1}{r\sin{\theta}}\Big(\frac{\partial A_1}{\partial\phi}-\sin{\theta}\frac{\partial(rA_3)}{\partial r}\Big)$$
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\phi=\frac{1}{r}\Big(\frac{\partial(rA_2)}{\partial r}-\frac{\partial A_1}{\partial\theta}\Big)$$
ラプラシアン（$\Delta$）
極座標のラプラシアン（$\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$）は以下で表されます。
$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Big[\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\Big]$$
円筒座標
円筒座標は変数（$r,\phi,z$）で表されます。尚、$\phi$ は $z$ 軸回り（$0\sim2\pi$）に取ります。座標変換は以下で表されるため、
$$x=r\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\phi}$$$$z=z$$
直交曲線座標の計量の定義①より、円筒座標での計量は以下になります。
$$h_1^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial r}\Big)^2=1$$$$h_2^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\phi}\Big)^2=r^2$$$$h_3^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial z}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial z}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial z}\Big)^2=1$$$$(h_1,h_2,h_3)=(1,r,1)$$
微小体積
円筒座標の微小体積は以下で表されます。
$$dxdydz=rdrd\theta dz$$
勾配（$\mathrm{grad}$）
円筒座標の勾配は以下で表されます。
$$\mathrm{grad}f=\Big(\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\phi},\frac{\partial f}{\partial z}\Big)$$
分散（$\mathrm{div}$）
円筒座標の分散は以下で表されます。
$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_1)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_2}{\partial\phi}+\frac{\partial A_3}{\partial z}$$
回転（$\mathrm{rot}$）
円筒座標の回転は以下で表されます。
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial A_3}{\partial\phi}-\frac{\partial A_2}{\partial z}$$
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\phi=\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial r}$$
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_z=\frac{1}{r}\Big(\frac{\partial(rA_2)}{\partial r}-\frac{\partial A_1}{\partial\phi}\Big)$$
ラプラシアン（$\Delta$）
円筒座標のラプラシアン（$\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$）は以下で表されます。
$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$
