コーシー・リーマンの関係式とは
コーシー・リーマンの関係式とは、複素関数が正則であるための条件です。正則な関数とは、定められた領域で任意有限回の微分が可能であることです。
コーシー・リーマンの関係式は、複素関数
$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$
に対して、次のように表すことができます。
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} , \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
このとき、実軸および虚軸方向の微分は、以下で表すことができます。
$$f'(z)=\frac{d}{dz}f(z)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)$$
コーシー・リーマンの関係式を導く
複素関数の微分の定義に以下になります。
$$f'(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$$$=\lim_{h,k\to0}\frac{[u(x+h,y+k)-u(x,y)]+i[v(x+h,y+k)-v(x,y)]}{h+ik} -①$$
微分が可能であるとは、微分の値が極限の方向に依存しない、一意に定まるということです。
必要条件
ある点で微分可能であれば、コーシー・リーマンの関係式が成り立つことを示します。まず、実軸方向に近づける場合は、①で $k=0$ であるため、
$$f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]}{h}$$$$=u_x(x,y)+iv_x(x,y) -(1)$$
次に、虚軸方向に近づける場合は、①で $h=0$ であるため、
$$f'(z)=\lim_{k\to0}\frac{[u(x,y+k)-u(x,y)]+i[v(x,y+k)-v(x,y)]}{ik}$$$$=-iu_y(x,y)+v_y(x,y) -(2)$$
微分が一意に定まるためには、(1) と (2) は一致する必要があるため、以下の関係が成り立つことが分かります。
$$u_x(x,y)=v_y(x,y) , u_y(x,y)=-v_x(x,y)$$
十分条件
コーシー・リーマンの関係式が成り立てば、微分可能であることを示します。平均値の定理より（$0\lt\theta\lt1$）、
$$u(x+h,y+k)-u(x,y)$$$$=hu_x(x+\theta h,y+\theta k)+ku_y(x+\theta h,y+\theta k)$$
偏導関数は連続であるため、次の式で $h,k\to0$ のとき $\epsilon_1,\epsilon_2\to0$ となるため、
$$u_x(x+\theta h,y+\theta k)-u_x(x,y)=\epsilon_1$$$$u_y(x+\theta h,y+\theta k)-u_y(x,y)=\epsilon_2$$
これを代入すると、
$$u(x+h,y+k)-u(x,y)=hu_x(x,y)+ku_y(x,y)+h\epsilon_1+k\epsilon_2$$
同様に、$h,k\to0$ のとき $\epsilon’_1,\epsilon’_2\to0$ とすると、
$$v(x+h,y+k)-v(x,y)=hv_x(x,y)+kv_y(x,y)+h\epsilon’_1+k\epsilon’_2$$
これらを①に代入し、コーシー・リーマンの関係式を使うと、
$$f'(z)=\lim_{h,k\to0}\frac{h(u_x+iv_x)+ik(v_y-iu_y)+(\epsilon_1+i\epsilon’_1)h+(\epsilon_2+i\epsilon’_2)k}{h+ik}$$
$$=\lim_{h,k\to0}\frac{(h+ik)(u_x+iv_x)+(\epsilon_1+i\epsilon’_1)h+(\epsilon_2+i\epsilon’_2)k}{h+ik}$$
$$=u_x+iv_x+\lim_{h,k\to0}\frac{(\epsilon_1+i\epsilon’_1)h+(\epsilon_2+i\epsilon’_2)k}{h+ik}$$
このとき、右辺第３項について、
$$\lim_{h,k\to0}\left|\frac{(\epsilon_1+i\epsilon’_1)h+(\epsilon_2+i\epsilon’_2)k}{h+ik}\right|$$$$\le\lim_{h,k\to0}\frac{(|\epsilon_1|+|\epsilon’_1|)|h|+(|\epsilon_2|+|\epsilon’_2|)|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$$$\le\lim_{h,k\to0}(|\epsilon_1|+|\epsilon’_1|+|\epsilon_2|+|\epsilon’_2|)$$$$=0$$
従って、以下の式が成り立つことが分かります。
$$\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=u_x+iv_x$$
