開弦の交換関係

演算子の交換関係

点粒子の場合の独立な力学変数は以下のように選ばれるため、

$$(x^I,x_0^{-},p^I,p^{+})$$

これからの類推で、ハイゼンベルグ演算子の組をそれぞれ以下のように選びます。尚、添え字の $I$ は横方向の成分を表します。

$$(X^I(\tau ,\sigma ),x_0^{-}(\tau ),P^{\tau I}(\tau ,\sigma ),p^{+}(\tau ))$$

また、弦座標 $X^I(\tau ,\sigma )$ と運動量密度 $P^{\tau I}(\tau ,\sigma )$ の関係を表す弦の運動方程式は以下になります。

$$P^{\tau \mu }=\frac{1}{2\pi \alpha }{\dot{X}}^{\mu } -\mathrm{①}$$$$P^{\sigma \mu }=-\frac{1}{2\pi \alpha }{X}^{{\mu }^{\prime }} -\mathrm{②}$$

弦の異なる点は互いに干渉しないとし、以下のような交換関係を仮定します。

$$[X^I(\tau ,\sigma ),P^{\tau J}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]\equiv i{\eta }^{IJ}\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime }) -\mathrm{③}$$

$$[x_0^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]=-i$$

$${\eta }^{IJ}=\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right)$$

それ以外の交換関係は基本的に０になります。

$$[X^I(\tau ,\sigma ),X^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=[P^{\tau I}(\tau ,\sigma ),P^{\tau J}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=0 -\mathrm{④}$$$$[x_0^{-}(\tau ),X^I(\tau ,\sigma )]=[x_0^{-}(\tau ),P^{\tau I}(\tau ,\sigma )]=0$$$$[p^{+}(\tau ),X^I(\tau ,\sigma )]=[p^{+}(\tau ),P^{\tau I}(\tau ,\sigma )]=0$$

④左辺の $X^I$ と $X^J$ を $\sigma$ と ${\sigma }^{\prime }$ で微分し、①を使うと以下が得られます。

$$[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=[{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=0 -\mathrm{⑤}$$

このとき、以下の交換関係が成り立ちます。

$$[({\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma ),({\dot{X}}^J\pm X^{J^{\prime }})(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=\pm 4\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime }) -\mathrm{⑥}$$$$[({\dot{X}}^I\pm X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma ),({\dot{X}}^J\mp X^{J^{\prime }})(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=0 -\mathrm{⑦}$$

⑥を導く

①を③に代入すると、

$$[X^I(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime }) -(1)$$

両辺を $\sigma$ で微分すると、

$$[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime }) -(2)$$

負号が “$+$” の場合の⑥の左辺を計算すると、

$$[({\dot{X}}^I+X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma ),({\dot{X}}^J+X^{J^{\prime }})(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$$$=[{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]+[{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma ),X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$$$+[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]+[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$

この第１項と第４項は、⑤より０になります。第２項については、${\eta }^{IJ}={\eta }^{JI}$、$\delta (x)=\delta (-x)$ に留意すると、

$$-[X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime }),{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma )]=-2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{JI}\frac{d}{d{\sigma }^{\prime }}\delta ({\sigma }^{\prime }-\sigma )$$$$=-2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d{\sigma }^{\prime }}\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })=2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })$$

第３項は(2)にるため、これらを代入すると⑥の右辺の符号が “$+$” の場合が得られます。

$$[({\dot{X}}^I+X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma ),({\dot{X}}^J+X^{J^{\prime }})(\tau ,{\sigma }^{\prime })]=4\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })$$

一方、負号が “$-$” の場合の⑥の左辺を同様に計算すると、

$$[({\dot{X}}^I-X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma ),({\dot{X}}^J-X^{J^{\prime }})(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$$$=[{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]-[{\dot{X}}^I(\tau ,\sigma ),X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$$$-[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),{\dot{X}}^J(\tau ,{\sigma }^{\prime })]+[X^{I^{\prime }}(\tau ,\sigma ),X^{J^{\prime }}(\tau ,{\sigma }^{\prime })]$$$$=-4\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })$$

振動モードの交換関係

弦のモード展開は以下で表されます。

$$X^I(\tau ,\sigma )=x_0^I+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^I\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{{\alpha }_n^I}{n}{e}^{-in\tau }\cos n\sigma -\mathrm{⑧}$$$${\alpha }_0^I\equiv \sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{p}^I -\mathrm{⑨}$$

光円錐座標の場合は、$\sigma \in [0,\pi ]$ で以下の関係が成り立ちます。

$$({\dot{X}}^I+X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma )=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\in Z}{\alpha }_n^I{e}^{-in(\tau +\sigma )} -\mathrm{⑩}$$$$({\dot{X}}^I-X^{I^{\prime }})(\tau ,\sigma )=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\in Z}{\alpha }_n^I{e}^{-in(\tau -\sigma )} -\mathrm{⑩}$$

このとき、振動モードの交換関係は以下になります。（⑪の導出、⑫の導出）

$$[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J]=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m+n,0} -\mathrm{⑪}$$$$[x_0^I,{\alpha }_n^J]=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}i{\eta }^{IJ}{\delta }_{n,0} -\mathrm{⑫}$$

また、$n=0$ の場合、⑨により⑫は次のように書き替えられます。

$$[x_0^I,p^J]=i{\eta }^{IJ} -\mathrm{⑬}$$

エルミート性

量子力学と同様に、座標と運動量の演算子はエルミート性を持ちます。

$$(x_0^I{)}^{†}=x_0^I$$$$(p^I{)}^{†}=p^I$$

また、振動モードの定義より、以下の関係が成り立ちます。

$$({\alpha }_n^I{)}^{†}={\alpha }_{-n}^I$$

⑪を導く

⑥に⑩を代入すると、

$$\sum _{m^{\prime },n^{\prime }\in Z}{e}^{-i{m}^{\prime }(\tau +\sigma )}{e}^{-i{n}^{\prime }(\tau +{\sigma }^{\prime })}[{\alpha }_{m^{\prime }}^I,{\alpha }_{n^{\prime }}^J]=2\pi i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })$$

両辺に次の積分を行うと、

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\sigma e^{im\sigma }\cdot \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d{\sigma }^{\prime }{e}^{in{\sigma }^{\prime }}$$

左辺については、$m=m^{\prime }$、$n=n^{\prime }$ 以外は０になるので、

$$(\mathrm{左}\mathrm{辺})=e^{-i(m+n)\tau }[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J] -(3)$$

右辺については、以下に留意すると、

$${\int }_0^{2\pi }d{\sigma }^{\prime }{e}^{in{\sigma }^{\prime }}\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })=e^{in\sigma }$$

以下になります。

$$(\mathrm{右}\mathrm{辺})=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\sigma e^{im\sigma }i{\eta }^{IJ}\frac{d}{d\sigma }{e}^{in\sigma }$$$$=-n{\eta }^{IJ}\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\sigma e^{i(m+n)\sigma }$$$$=-n{\eta }^{IJ}{\delta }_{m+n,0} -(4)$$

(3)と(4)より、

$$e^{-i(m+n)\tau }[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J]=-n{\eta }^{IJ}{\delta }_{m+n,0}$$

$n=-m$ の場合は、

$$[{\alpha }_m^I,{\alpha }_{-m}^J]=m{\eta }^{IJ}$$

右辺は $n\ne -m$ のは場合は、

$$e^{-i(m+n)\tau }[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J]=0$$

となるため、いずれも⑪が成り立つことが分かります。

⑫を導く

(1)の両辺を $\sigma \in [0,\pi ]$ で積分し、⑧を代入すると、

$$2\pi {\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}{\int }_0^{\pi }d\sigma \delta (\sigma -{\sigma }^{\prime })={\int }_0^{\pi }d\sigma [X^I(\sigma ),{\dot{X}}^J({\sigma }^{\prime })]$$

左辺の $X^I(\sigma )$ の三角関数の項は消え、右辺のデルタ関数の積分は１になるため、

$$2{\alpha }^{\prime }i{\eta }^{IJ}=[x_0^I+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^I\tau ,{\dot{X}}^J({\sigma }^{\prime })] -(5)$$

ここで、⑪と⑧より、

$$[{\alpha }_0^I,{\alpha }_0^J]=[{\alpha }_0^I,{\alpha }_n^J]=0$$$${\dot{X}}^J({\sigma }^{\prime })=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^J+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n^{\prime }\ne 0}{\alpha }_{n^{\prime }}^J{e}^{-i{n}^{\prime }\tau }\cos n^{\prime }{\sigma }^{\prime }$$

これらを使うと(5)は、

$$\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}i{\eta }^{IJ}=\frac{1}{\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}}[x_0^I,{\dot{X}}^J({\sigma }^{\prime })]$$$$=[x_0^I,{\alpha }_0^J]+\sum _{n^{\prime }\ne 0}[x_0^I,{\alpha }_{n^{\prime }}^J]e^{-i{n}^{\prime }\tau }\cos n^{\prime }{\sigma }^{\prime }$$$$=[x_0^I,{\alpha }_0^J]+\sum _{n^{\prime }=1}^{\mathrm{\infty }}[x_0^I,{\alpha }_{n^{\prime }}^J{e}^{-i{n}^{\prime }\tau }+{\alpha }_{-n^{\prime }}^J{e}^{i{n}^{\prime }\tau }]\cos n^{\prime }{\sigma }^{\prime } -(6)$$

これを $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }d\sigma \cos n\sigma$ で積分すると、定数項である左辺と右辺第１項は０になり、右辺第２項は、

$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }d\sigma \cos n\sigma \cos n^{\prime }\sigma =\frac{1}{2}{\delta }_{n^{\prime }n}$$

に留意すると、

$$0=[x_0^I,{\alpha }_n^J{e}^{-in\tau }+{\alpha }_{-n}^J{e}^{in\tau }]$$$$=[x_0^I,{\alpha }_n^J]e^{-in\tau }+[x_0^I,{\alpha }_{-n}^J]e^{in\tau }$$

これより、$n\ne 0$ の場合、上式が成り立つ条件は以下であるため、⑫を満たすことが分かります。

$$[x_0^I,{\alpha }_n^J]=[x_0^I,{\alpha }_{-n}^J]=0 -(7)$$

また、$n=0$ の場合は、(6)より、

$$\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}i{\eta }^{IJ}=[x_0^I,{\alpha }_0^J]+\sum _{n^{\prime }=1}^{\mathrm{\infty }}[x_0^I,{\alpha }_{n^{\prime }}^J{e}^{-i{n}^{\prime }\tau }+{\alpha }_{-n^{\prime }}^J{e}^{i{n}^{\prime }\tau }]\cos n^{\prime }{\sigma }^{\prime }$$$$=[x_0^I,{\alpha }_0^J]+\sum _{n^{\prime }=1}^{\mathrm{\infty }}([x_0^I,{\alpha }_{n^{\prime }}^J]e^{-i{n}^{\prime }\tau }+[x_0^I,{\alpha }_{-n^{\prime }}^J]e^{i{n}^{\prime }\tau })\cos n^{\prime }{\sigma }^{\prime }$$

右辺の第２項は(7)より０になるため、⑫を満たすことが分かります。

$$\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}i{\eta }^{IJ}=[x_0^I,{\alpha }_0^J]$$

消滅演算子と生成演算子

古典変数での振動モードと展開係数の関係（ $n\ge 1$ ）

$${\alpha }_n^{\mu }=a_n^{\mu }\sqrt{n} , {\alpha }_{-n}^{\mu }=a_n^{\mu \ast }\sqrt{n}$$

より、量子論へにおいては、エルミート共役な消滅演算子 $a_n^I$ と生成演算子 $a_n^{I†}$ を以下のように定義します（ $n\ge 1$ ）。

$${\alpha }_n^I=a_n^I\sqrt{n} , {\alpha }_{-n}^I=a_n^{I†}\sqrt{n} -\mathrm{⑭}$$

このとき、これは以下の交換関係が成り立ちます。

$$[a_m^I,a_n^J]=[a_m^{I†},a_n^{J†}]=0 -\mathrm{⑮}$$$$[a_m^I,a_n^{J†}]={\delta }_{m,n}{\eta }^{IJ} -\mathrm{⑯}$$

⑮⑯を導く

⑪より、

$$[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J]=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m+n,0}=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m,-n}$$

従って、

$$[{\alpha }_m^I,{\alpha }_{-n}^J]=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m,n}$$

$m$ と $n$ が異なる符号の場合、右辺は０になり、左辺の演算子は同じ符号となるため、⑮が得られます。

$$[a_m^I,a_n^J]=0$$

一方、$m$ と $n$ が正の符号の場合は、⑭を代入すると以下になります。

$$[\sqrt{m}{a}_m^I,\sqrt{n}{a}_n^{J†}]=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m,n}$$

右辺は $m=n$ 以外は０になるため⑯が得られます。

閉弦の交換関係

量子閉弦、演算子の交換関係、演算子のエルミート性、弦のモード展開、振動モードの交換関係、消滅演算子と生成演算子

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