イオン波とは、プラズマ中のイオンの持つ電荷により、電場を媒介として伝わる波動（音波）です。
磁場がない場合のイオン波
２流体プラズマの場合、イオンの連続の方程式、運動方程式、状態方程式、ポアソンの方程式はそれぞれ以下になります。尚、$n_i$ と $n_e$ はそれぞれイオンと電子の単位体積当りの粒子数です。
$$\frac{\partial n_i}{\partial t}+\nabla\cdot(n_i{\bf v}_i)=0 -①$$$$m_in_i\Big(\frac{\partial{\bf v}_i}{\partial t}+({\bf v}_i\cdot\nabla){\bf v}_i\Big)=n_ie({\bf E}+{\bf v}_i\times{\bf B})-\nabla p_i -②$$$$p_i=C(n_im_i)^{\gamma_i} -③$$$$\epsilon\nabla^2\phi=-(n_i-n_e)e -④$$
このとき、磁場がない場合のイオン波の分散関係式は以下で表されます。
$$\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{k_B}{m_i}\Big(\frac{\gamma_eT_e}{1+k^2\gamma_e\lambda_D^2}+\gamma_iT_i) -⑤$$
$$\lambda_D^2\equiv\frac{\epsilon k_BT_e}{n_0e^2}$$
尚、$\lambda_D$ はデバイ長と呼ばれ、$\lambda_D\ll 1$ の場合は以下が成り立ちます（プラズマ近似）。
$$\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{k_B}{m_i}(\gamma_eT_e+\gamma_iT_i) -⑥$$
分散関係式⑤を導く
③の両辺を微分すると、
$$\frac{\nabla p_i}{p_i}=\gamma_i\frac{\nabla n_i}{n_i}$$
これと、状態方程式 $p_i=n_ik_BT_i$ 、${\bf E}=-\nabla\phi$ 、${\bf B}=0$ を②に代入すると、
$$m_in_i\Big(\frac{\partial{\bf v}_i}{\partial t}+({\bf v}_i\cdot\nabla){\bf v}_i\Big)=-n_ie\nabla\phi-\gamma_ik_BT_i\nabla n_i$$
これに、次のような線形化を行えば、
$${\bf v}_i={\bf v}_{i0}+{\bf v}_{i1}\cong{\bf v}_{i1}\sim e^{i(kz-\omega t)}$$$${\bf\phi}={\bf\phi}_0+{\bf\phi}_1\cong{\bf\phi}_1\sim e^{i(kz-\omega t)}$$$$n_i=n_0+n_{i1} , n_{i1}\sim e^{i(kz-\omega t)}$$$$n_e=n_0+n_{e1} , n_{e1}\sim e^{i(kz-\omega t)}$$
右辺第２項は無視することができ、以下になります。
$$m_in_0\omega v_{i1}=n_0ek\phi_1+\gamma_ik_BT_ikn_{i1} -(1)$$
①について、線形化を行うと、
$$-i\omega n_{i1}+kn_0v_{i1}=0 -(2)$$
④について、線形化を行うと、
$$\epsilon k^2\phi_1=(n_{i1}-n_{e1})e -(3)$$
電子の分布密度⑨をテイラー展開すると、
$$n_e=n_0\Big(1+\frac{e\phi}{\gamma_ek_BT_e}+\cdots\Big)$$$$n_{e1}=n_0\frac{e\phi}{\gamma_ek_BT_e} -(4)$$
（４）を（３）に代入すると、
$$\epsilon k^2\phi_1=en_{i1}-\frac{e^2n_0\phi_1}{\gamma_ek_BT_e}$$$$\phi_1\Big(k^2+\frac{1}{\gamma_e\lambda_D^2}\Big)=\frac{en_{i1}}{\epsilon}$$
これと、（１）、（２）より、$n_{i1}$ と $\phi_1$ を消去すると、⑤が得られます。
電子の分布密度
２流体プラズマの場合、電子の運動方程式、状態方程式はそれぞれ以下になります。
$$m_en_e\Big(\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e\Big)=-n_ee({\bf E}+{\bf v}_e\times{\bf B})-\nabla p_e -⑦$$$$p_e=C(n_em_e)^{\gamma_e} -⑧$$
このとき、電子の分布密度は以下で表されます。
$$n_e=n_{e0}\exp{\Big(\frac{e\phi}{\gamma_ek_BT_e}\Big)} -⑨$$
電子の分布密度⑨を導く
⑦について、電子の質量は小さく（$m_e=0$）とし、${\bf B}=0$ と仮定すると、
$$0=-n_ee{\bf E}-\nabla p_e -(5)$$
⑧の両辺を微分すると、
$$\frac{\nabla p_e}{p_e}=\gamma_e\frac{\nabla n_e}{n_e}$$
これと、状態方程式 $p_e=n_ek_BT_e$ 、${\bf E}=-\nabla\phi$ を（５）に代入すると、
$$n_ee\nabla\phi=\gamma_ek_BT_e\nabla n_e$$
これの $z$ 成分を考え、積分すると、
$$n_ee\frac{\partial\phi}{\partial z}=\gamma_ek_BT_e\frac{\partial n_e}{\partial z}$$
$$e\phi=\gamma_ek_BT_e\ln{n_e}+C$$
これにより、⑨が得られます。
