【高校数学】数と集合 - 理数の散策路

式と数（数学Ⅰ）
整数の性質（数学Ａ）
集合と論証（数学Ⅰ）

式と数（数学Ⅰ）

指数法則

$m$、$n$ を正の整数とすると、以下の関係が成り立ちます。

$a^ma^n=a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{m+n}$
$(ab)^n=a^nb^n$

展開式と因数分解

展開式と因数分解は以下になります。

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)=x^2+2(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$

絶対値

絶対値の性質は以下になります。

$|a|\ge0$ で、$|a|=0$ となるのは $a=0$ のときに限る。
$a\ge0$ のとき、$|a|=a$
$a\lt0$ のとき、$|a|=-a$
$|-a|=|a|$ 、$|a|^2=a^2$ 、$|ab|=|a||b|$
$|a/b|=|a|/|b|$ 、但し $b\ne0$

平方根

平方根の性質は以下になります。

$a\ge0$ のとき、$\sqrt{a^2}=|a|$ 、$\sqrt{a}\ge0$
$a,b\gt0$ のとき、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$
$a,k\gt0$ のとき、$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$

2重根号は、２乗の形を作って外側の根号を外します。

$\sqrt{p\pm k\sqrt{q}}$ は $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}$ に変形して、
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 、但し $a\gt b$

不等式

不等式の性質は以下になります。

$a\lt b$ ならば、$a\pm c\lt b\pm c$
$a\lt b$ 、$c\gt0$ ならば、$ac\lt bc$ 、$a/c\lt b/c$
$a\lt b$ 、$c\lt0$ ならば、$ac\gt bc$ 、$a/c\gt b/c$

不等式の解は、$a\gt0$ の場合、以下で表されます。

$|x|=a$ の解は、$x=\pm a$
$|x|\lt a$ の解は、$-a\lt x\lt a$
$|x|\gt a$ の解は、$x\lt-a$ 、$a\lt x$

整数の性質（数学Ａ）

約数

自然数 $N$ の素因数分解が $N=p^aq^br^c\cdots$ となるとき、

正の約数の個数は以下で表されます。
$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$
正の約数の総和は以下で表されます。
$(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)(1+r+\cdots+r^c)\cdots$

最大公約数と最小公倍数

２つの自然数 $a$ 、$b$ の最大公約数を $g$ 、最小公約数を $l$ とし、$a=ga’$ 、$b=gb’$ とすると、以下が成り立ちます。

$a’$ と $b’$ は互いに素である。
$l=ga’b’$
$ab=gl$

除法と余り

$a$ を整数、$b$ を正の整数とし、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると、

$$a=bq+r　　,　　0\le r\lt b$$

全ての整数は余りにより分類することができます。

$2k$ 、$2k+1$（偶数、奇数）
$3k$ 、$3k+1$ 、$3k+2$（３で割った余りが０､１､２）
一般に、$m$ が２以上の自然数のとき、
$mk$ 、$mk+1$ 、$mk+2$ 、$\cdots$、$mk+(m-1)$

２つの整数 $a$ 、$b$ について、$a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい、以下のように表します。これを合同式と呼びます。

$$a\equiv b\pmod{m}$$

互除法

２つの正の整数 $a$ 、$b$ について、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると、

$r\ne0$ のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。
$r=0$ のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ である。

ユークリッド互除法は、$a$ と$b$ の最大公約数を求める方法で、以下のような手順を繰り返します。

$a$ を $b$ で割った余りを $r$ とする。
$r=0$ ならば、$b$ が $a$ と $b$ の最大公約数。
$r\ne0$ ならば、$a$ を $b$ 、$b$ を $r$ で置き換えて１から繰り返す。

１次不定方程式

２つの整数 $a$ 、$b$ が互いに素であるとき、１次不等式 $ax+by=c$ について、

任意の整数 $c$ に対し、この１次不等式を満たす整数 $x$ 、$y$ が存在する。
１組の整数解が $x=\alpha$ 、$y=\beta$ であるとき、全ての整数解は、
$x=bn+\alpha$ 、$y=-an+\beta$（$n$ は整数）で表される。

有限小数と循環小数

既約分数 $m/n$ について以下のことが成り立ちます。

分数の素因数が２､５だけからなる場合、
$m/n$ は有限小数で表される。
分数の素因数が２､５以外のものがある場合、
$m/n$ は循環小数で表される。

集合と論証（数学Ⅰ）

集合の基本

集合で使われる用語は以下になります。ここで、$A,B$ は集合、$U$ は全体集合を表します。

部分集合：$A\subset B$ 、「$x\in A$ ならば $x\in B$」が成り立つ。
相等：$A=B$ 、「$A\subset B$ かつ $B\subset A$」が成り立つ。
共通集合：$A\cap B=$｛$x|x\in A$ かつ $x\in B$ ｝
和集合：$A\cup B=$｛$x|x\in A$ または $x\in B$ ｝
補集合：$\overline{A}=$｛$x|x\in U$ かつ $x\notin A$ ｝

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は以下のように表されます。

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ 、$\overline{A\cup B\cup C}=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}$
⇒「$A$ または $B$」でなければ「$\overline{A}$ かつ $\overline{B}$」
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ 、$\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}$
⇒「$A$ かつ $B$」でなければ「$\overline{A}$ または $\overline{B}$」