閉弦のモード展開
弦の波動方程式は、以下で表すことができ、
$$\frac{\partial^2X^\mu}{\partial\tau^2}-\frac{\partial^2X^\mu}{\partial \sigma^2}=0$$
波動方程式の古典的な一般解は、左右に進行する波の和で表すことができるため、以下のように $X^\mu_L,X^\mu_R$ を定義します。
$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu_L(\tau+\sigma)+X^\mu_R(\tau-\sigma)$$$$=X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v) -①$$$$u\equiv\tau+\sigma , v\equiv\tau-\sigma$$
このとき $X^\mu_L,X^\mu_R$ の微分は以下のようにモード展開で表すことができます。（②を導く）
$$X_L^{\mu’}(u)=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\in Z}\bar{\alpha}_n^\mu e^{-inu} -②$$$$X_R^{\mu’}(v)=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-inv} -②$$
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{e^{-in\tau}}{n}(\alpha_n^\mu e^{in\sigma}+\bar{\alpha}_n^\mu e^{-in\sigma}) -③$$$$\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}p^\mu -④$$
$X^\mu$ の導関数の線形結合には以下の関係があります。（⑤を導く）
$$(\dot{X}^\mu+X^{\mu’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\bar{\alpha}_n^\mu e^{-in(\tau+\sigma)} -⑤$$$$(\dot{X}^\mu-X^{\mu’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau-\sigma)} -⑤$$
導出
②を導く
以下の弦のモード展開の式を利用します。
$$\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau\pm\sigma)} -(1)$$
この左辺に①を代入すると、
$$\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’}=\frac{\partial}{\partial\tau}\Big(X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)\Big)\pm\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)\Big)$$$$=\Big(\frac{\partial u}{\partial\tau}X^{\mu’}_L(u)+\frac{\partial v}{\partial\tau}X^{\mu’}_R(v)\Big)\pm\Big(\frac{\partial u}{\partial\sigma}X^{\mu’}_L(u)+\frac{\partial v}{\partial\sigma}X^{\mu’}_R(v)\Big)$$$$=\Big(X^{\mu’}_L(u)+X^{\mu’}_R(v)\Big)\pm\Big(X^{\mu’}_L(u)-X^{\mu’}_R(v)\Big)$$
(1) と併せて、正符号については以下で、
$$2X^{\mu’}_L(u)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau+\sigma)}$$
負符号については以下のよう書くことができます。
$$2X^{\mu’}_R(v)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau-\sigma)}$$
$X^{\mu’}_L(u)$ の演算子を $\alpha_n^\mu\to\bar{\alpha}_n^\mu$ で置き換えると②が得られます。
③を導く
②を積分し、$x_0^{L\mu},x_0^{R\mu}$ を積分定数とすると、
$$X_L^\mu(u)=\frac{1}{2}x_0^{L\mu}+\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\bar{\alpha}_0^\mu u+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{\bar{\alpha}_n^\mu}{n}e^{-inu} -(2)$$
$$X_R^\mu(v)=\frac{1}{2}x_0^{R\mu}+\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\alpha_0^\mu v+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-inv} -(2)$$
ここで④の関係 $\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu$ を使い、①に代入すると、$u+v=2\tau$ であるため、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}(x_0^{L\mu}+x_0^{R\mu})+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau$$$$+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{e^{-in\tau}}{n}(\alpha_n^\mu e^{in\sigma}+\bar{\alpha}_n^\mu e^{-in\sigma})$$
積分定数を $x_0^{L\mu}=x_0^{R\mu}\equiv x_0$ とすると、③が得られます。
④を導く
$X^\mu$ は $2\pi$ の周期関数であるため、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(\tau,\sigma+2\pi)$$$$X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)＝X^\mu_L(u+2\pi)+X^\mu_R(v-2\pi)$$
これに (2) を代入すると、
$$0=2\pi\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\bar{\alpha}_0^\mu-2\pi\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\alpha_0^\mu$$
従って以下が得られます。
$$\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu$$
一方、弦の運動方程式より、③を微分すると、
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu=\frac{1}{2\pi\alpha}(\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu+\mathrm{指数項})$$
これより、弦の運動量を求めると、③の指数項は積分で０になるので、
$$p^\mu=\int_0^{2\pi}P^{\tau\mu}(\tau,\sigma)d\sigma$$$$=\frac{1}{2\pi\alpha’}\int_0^{2\pi}d\sigma\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu=\sqrt{\frac{2}{\alpha’}}\alpha_0^\mu$$
これらより⓸が得られます。
⑤を導く
①の $\tau$ 微分と $\sigma$ 微分を行うと、
$$\dot{X}^\mu=X_L^{\mu’}(\tau+\sigma)+X_R^{\mu’}(\tau-\sigma)$$$$X^{\mu’}=X_L^{\mu’}(\tau+\sigma)-X_R^{\mu’}(\tau-\sigma)$$
これらの和と差を取ると、
$$(\dot{X}^\mu+X^{\mu’})=2X_L^{\mu’}(\tau+\sigma)$$$$(\dot{X}^\mu-X^{\mu’})=2X_R^{\mu’}(\tau-\sigma)$$
これに②を代入すると⑤が得られます。
