ガンマ行列とは

ガンマ行列の定義

ガンマ行列とは、ディラック場の表記に用いられる行列で、以下の反交換関係を持ち（$\mu =0,1,2,3$）、

$$[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }{]}_{+}=2g^{\mu \nu } -\mathrm{①}$$

$$g^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)$$

次のエルミート性の条件を満たします。

$${\gamma }^{\mu †}={\gamma }^0{\gamma }^{\mu }{\gamma }^0 -\mathrm{②}$$

５番目の反交換行列 ${\gamma }^5$ は次のように定義されます。

$${\gamma }^5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3 -\mathrm{③}$$

下付き添字のガンマ行列は以下で定義されます。

$${\gamma }_{\mu }\equiv g_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu } -\mathrm{④}$$$${\gamma }_5\equiv \frac{i}{4!}{ϵ}_{\mu \nu \sigma \rho }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\rho } -\mathrm{⑤}$$

${ϵ}_{\mu \nu \sigma \rho }$ はレヴィ＝チヴィタ記号で、添え字が $(1,2,3,4)$ の偶置換であれば $+1$ 、奇置換であれば $-1$ 、２つ以上の添え字が共通であれば $0$ になります。

ガンマ行列の性質

ガンマ行列は以下のような性質を持ちます。（$i=1,2,3$）

1. $({\gamma }^0{)}^2=1$
2. $({\gamma }^1{)}^2=({\gamma }^2{)}^2=({\gamma }^3{)}^2=-1$
3. $({\gamma }^5{)}^2=1$
4. ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu } (\mu \ne \nu )$
5. ${\gamma }^{0†}={\gamma }^0$
6. ${\gamma }^{i†}=-{\gamma }^i$
7. ${\gamma }^{5†}={\gamma }^5$
8. ${\gamma }_0={\gamma }^0$
9. ${\gamma }_i=-{\gamma }^i$
10. ${\gamma }_5={\gamma }^5$
11. $[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^5{]}_{+}=0$

導出

［１の導出］
①より、$[{\gamma }^0,{\gamma }^0{]}_{+}={\gamma }^0{\gamma }^0+{\gamma }^0{\gamma }^0=2({\gamma }^0{)}^2=2g_{00}=2$

［２の導出］
①より、$[{\gamma }^i,{\gamma }^i{]}_{+}={\gamma }^i{\gamma }^i+{\gamma }^i{\gamma }^i=2({\gamma }^i{)}^2=2g_{ii}=-2$

［５の導出］
②と性質１より、${\gamma }^{0†}={\gamma }^0{\gamma }^0{\gamma }^0={\gamma }^0$

［６の導出］
②と性質４、１より、${\gamma }^{i†}={\gamma }^0{\gamma }^i{\gamma }^0=-{\gamma }^i{\gamma }^0{\gamma }^0=-{\gamma }^i$

［７の導出］
②と性質１、４より、${\gamma }^{5†}=-i{\gamma }^0({\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3){\gamma }^0=-i{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3{\gamma }^0=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$

［８の導出］
④と①より、${\gamma }_0=g_{0\nu }{\gamma }^{\nu }=g_{00}{\gamma }^0={\gamma }^0$

［９の導出］
④と①より、${\gamma }_i=g_{i\nu }{\gamma }^i=g_{ii}{\gamma }^i=-{\gamma }^i$

［10の導出］
⑤の右辺の項は、$(0,1,2,3)$ からの偶置換なら正符号、奇置換なら負符号であるため、元の $(0,1,2,3)$ の並びに戻すと全て正符号になるため、
${\gamma }_5=\frac{i}{24}({\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3-{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^3{\gamma }^2-{\gamma }^0{\gamma }^2{\gamma }^1{\gamma }^3+\cdots )=\frac{i}{24}\cdot 24{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3={\gamma }^5$

［11の導出］
$\mu =1$ の場合で計算すると以下になり、$\mu =0,2,3$ の場合も同様の結果になります。
$[{\gamma }^1,{\gamma }^5{]}_{+}=i{\gamma }^1{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3+i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3{\gamma }^1=-i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3+i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=0$

縮約の公式

①より、ガンマ行列は以下の縮約の公式が成り立ちます。

1. ${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\mu }=4$
2. ${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\mu }=-2{\gamma }^{\alpha }$
3. ${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\mu }=4g^{\alpha \beta }$
4. ${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\mu }=-2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }$
5. ${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\mu }=2({\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\rho }+{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma })$

導出

［１の導出］
④と①より、
${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\mu }=g_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=({\gamma }^0{)}^2-({\gamma }^1{)}^2-({\gamma }^2{)}^2-({\gamma }^3{)}^2=4$

［２の導出］
①と１より、
${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\mu }(-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }+2g^{\alpha \mu })=-4{\gamma }^{\alpha }+2{\gamma }^{\alpha }=-2{\gamma }^{\alpha }$

［３の導出］
①と２より、
${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }(-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\beta }+2g^{\beta \mu })=2{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }+2{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }=4g^{\alpha \beta }$

［４の導出］
①と３を使い、最後は ${\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }$ の並びになるように繰返し置換すると、
${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }(-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\sigma }+2g^{\sigma \mu })=-4g^{\alpha \beta }{\gamma }^{\sigma }+2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }=-2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }$

［５の導出］
①と４より、
${\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }(-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\rho }+g^{\rho \mu })=2{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\rho }+2{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\sigma }$

ディラック表記

ガンマ行列は、ディラック方程式が導かれる過程で導入されました。ディラック表記のガンマ行列は、以下のような４×４の行列で表されます。

$${\gamma }^0\equiv \beta =\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right)$$$${\gamma }^i\equiv \beta {\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right)$$

$${\gamma }^5=i\left(\begin{array}{cc}0& -{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\\ -{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right)$$

${\alpha }_i$ と $\beta$ は以下で定義されます。

$$\beta =\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_0& 0\\ 0& -{\sigma }_0\end{array}\right) , {\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ {\sigma }_i& 0\end{array}\right)$$$${\sigma }_0=I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) , {\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$$${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right) , {\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

${\sigma }_i$ はパウリ行列で以下の性質を持ちます（$i=1,2,3$）。

$${\sigma }_0^2={\sigma }_i^2=1$$$$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{\sigma }_k$$$${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i=i{\sigma }_k$$

物理学

力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、量子力学、物性論、電子工学、プラズマ物理、連続体力学、場の量子論、弦理論

www.sansakuro.com

2021.04.13

散策路TOP

数学、応用数学、古典物理、量子力学、物性論、電子工学、IT、力学、電磁気学、熱・統計力学、連続体力学、解析学、代数学、幾何学、統計学、論理・基礎論、プラズマ物理、量子コンピュータ、情報・暗号、機械学習、金融・ゲーム理論

www.sansakuro.com

2021.03.24