ガンマ行列の定義
ガンマ行列とは、ディラック場の表記に用いられる行列で、以下の反交換関係をもち（$\mu=0,1,2,3$）、
$$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]_+=2g^{\mu\nu} -①$$
$$g^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & & & \\
& -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{array}\right)$$
次のエルミート性の条件を満たします。
$$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$$
従って、
$$\gamma^{0\dagger}=\gamma^0 , \gamma^{i\dagger}=-\gamma^i , \gamma^{5\dagger}=\gamma^5$$
５番目の反交換行列 $\gamma^5$ は次のように定義されます。
$$\gamma^5\equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$$
下付き添字のガンマ行列は以下で定義されます。
$$\gamma_\mu\equiv g_{\mu\nu}\gamma^\nu$$$$\gamma_5\equiv-i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$$
従って、
$$\gamma_0=\gamma^0 , \gamma_i=-\gamma^i , \gamma_5=\gamma^5$$
ディラック表記
ガンマ行列は、ディラック方程式が導かれる過程で導入されました。ディラック表記のガンマ行列は、以下のような４×４の行列で表されます。
$$\gamma^0\equiv\beta=\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & -I \end{array}\right)$$$$\gamma^i\equiv\beta\alpha_i=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array}\right)$$
$$\gamma^5=i\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sigma_1\sigma_2\sigma_3 \\ -\sigma_1\sigma_2\sigma_3 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}\right)$$
$\alpha_i$ と $\beta$ は以下で定義されます。
$$\beta=\left(\begin{array}{cc} \sigma_0 & 0 \\ 0 & -\sigma_0 \end{array}\right) , \alpha_i=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array}\right)$$$$\sigma_0=I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) , \sigma_1=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$$$\sigma_2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) , \sigma_3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$
$\sigma_i$ はパウリ行列で以下の性質を持ちます（$i=1,2,3$）。
$$\sigma_0^2=\sigma_i^2=1$$$$[\sigma_i,\sigma_j]=2i\sigma_k$$$$\sigma_i\sigma_j=-\sigma_j\sigma_i=i\sigma_k$$
ガンマ行列の性質
ガンマ行列は以下のような性質を持ちます。
$$\gamma^\mu\gamma^\nu=-\gamma^\nu\gamma^\mu (\mu\ne\nu)$$$$(\gamma^0)^2=(\gamma^5)^2=1 , (\gamma^\mu)^2=-1$$
$$[\gamma^\mu,\gamma^5]_+=0$$$$\gamma^{5\dagger}=\gamma^5$$
縮約の公式
①より、ガンマ行列は以下の縮約の公式が成り立ちます。
$$\gamma_\mu\gamma^\mu=4$$$$\gamma_\nu\gamma^\mu\gamma^\nu=-2\gamma^\mu$$$$\gamma_\rho\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho=4g^{\mu\nu}$$$$\gamma_\tau\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\tau=-2\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho$$
