エーレンフェストの定理とは

/量子力学

エーレンフェストの定理とは

エーレンフェストの定理は、量子力学における波束の重心(波動関数の期待値)の運動が、古典力学における運動方程式に近似されることを表します。

粒子の位置の期待値を r で表すとき、

r=ψ(r,t)rψ(r,t)dr  

以下の関係が成り立ちます。これは、古典力学のニュートンの運動方程式に相当します。

md2dt2r=F(r)  

尚、波動関数は次のシュレディンガー方程式に従います。

iψt=Hψ  iψt=Hψ  H=22m2+V(r)

エーレンフェストの定理を導く

①の x 軸成分について、

x=ψ(r,t)xψ(r,t)dr

として、②の代わりに以下の関係が成り立つことを示します。

md2dt2x=Fx(r)  

これを時間微分し、③と④を代入すると、

ddtx=(dψdtxψ+ψxdψdt)dr

=1i((Hψ)xψ+ψx(Hψ))dr

=2mi((2ψ)xψψx(2ψ))dr  (1)

ここで、

2x2(xψ)=x(ψ+xψx)=2ψx+x2ψx2

に注意すると、

2(xψ)=2ψx+x2ψ

これを(1)の第2項に代入すると、

ddtx=2mi((2ψ)xψψ2(xψ)+2ψψx)dr  (2)

ここで、グリーンの定理

(u2vv2u)dV=(uvvu)ndS

を適用すると、(2)の第1項と第2項は面積分に変換できますが、無限遠では波動関数は0になるため、これらの積分は無視することができます。従って、(2)は第3項のみが残ります。

ddtx=imψψxdr

これを再度時間微分し、③と④を代入すると、

d2dt2x=im(ψtψx+ψxψt)dr

=1m((Hψ)ψx+ψx(Hψ))dr

=22m2((2ψ)ψxψx(2ψ))dr1mψVxψdr

この第1項と第2項はグリーンの定理により面積分に変換できますが、無限遠では波動関数は0になるため、これらの積分は無視することができます。従って、

d2dt2x=1mψVxψdr

ここで、

Fx=ψVxψdr

と置くと⑤が得られます。

 

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