エーレンフェストの定理とは
エーレンフェストの定理は、量子力学における波束の重心(波動関数の期待値)の運動が、古典力学における運動方程式に近似されることを表します。
粒子の位置の期待値を
以下の関係が成り立ちます。これは、古典力学のニュートンの運動方程式に相当します。
尚、波動関数は次のシュレディンガー方程式に従います。
エーレンフェストの定理を導く
①の
として、②の代わりに以下の関係が成り立つことを示します。
これを時間微分し、③と④を代入すると、
ここで、
に注意すると、
これを(1)の第2項に代入すると、
ここで、グリーンの定理
を適用すると、(2)の第1項と第2項は面積分に変換できますが、無限遠では波動関数は0になるため、これらの積分は無視することができます。従って、(2)は第3項のみが残ります。
これを再度時間微分し、③と④を代入すると、
この第1項と第2項はグリーンの定理により面積分に変換できますが、無限遠では波動関数は0になるため、これらの積分は無視することができます。従って、
ここで、
と置くと⑤が得られます。

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