エーレンフェストの定理とは

エーレンフェストの定理とは
エーレンフェストの定理を導く

エーレンフェストの定理とは

エーレンフェストの定理は、量子力学における波束の重心（波動関数の期待値）の運動が、古典力学における運動方程式に近似されることを表します。

粒子の位置の期待値を $⟨ r ⟩$ で表すとき、

$⟨ r ⟩ = \int ψ^{*} (r, t) r ψ (r, t) d r - ①$

以下の関係が成り立ちます。これは、古典力学のニュートンの運動方程式に相当します。

$m \frac{d^{2}}{d t^{2}} ⟨ r ⟩ = F (⟨ r ⟩) - ②$

尚、波動関数は次のシュレディンガー方程式に従います。

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ - ③$ $- i ℏ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} = H ψ^{*} - ④$ $H = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (r)$

エーレンフェストの定理を導く

①の $x$ 軸成分について、

$⟨ x ⟩ = \int ψ^{*} (r, t) x ψ (r, t) d r$

として、②の代わりに以下の関係が成り立つことを示します。

$m \frac{d^{2}}{d t^{2}} ⟨ x ⟩ = F_{x} (⟨ r ⟩) - ⑤$

これを時間微分し、③と④を代入すると、

$\frac{d}{d t} ⟨ x ⟩ = \int (\frac{d ψ^{*}}{d t} x ψ + ψ^{*} x \frac{d ψ}{d t}) d r$

$= \frac{1}{i ℏ} \int (- (H ψ^{*}) x ψ + ψ^{*} x (H ψ)) d r$

$= \frac{ℏ}{2 m i} \int ((\nabla^{2} ψ^{*}) x ψ - ψ^{*} x (\nabla^{2} ψ)) d r - (1)$

ここで、

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (x ψ) = \frac{\partial}{\partial x} (ψ + x \frac{\partial ψ}{\partial x}) = 2 \frac{\partial ψ}{\partial x} + x \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$

に注意すると、

$\nabla^{2} (x ψ) = 2 \frac{\partial ψ}{\partial x} + x \nabla^{2} ψ$

これを(1)の第２項に代入すると、

$\frac{d}{d t} ⟨ x ⟩ = \frac{ℏ}{2 m i} \int ((\nabla^{2} ψ^{*}) x ψ - ψ^{*} \nabla^{2} (x ψ) + 2 ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) d r - (2)$

ここで、グリーンの定理

$\int (u \nabla^{2} v - v \nabla^{2} u) d V = \int (u \nabla v - v \nabla u)_{n} d S$

を適用すると、(2)の第１項と第２項は面積分に変換できますが、無限遠では波動関数は０になるため、これらの積分は無視することができます。従って、(2)は第３項のみが残ります。

$\frac{d}{d t} ⟨ x ⟩ = - \frac{i ℏ}{m} \int ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} d r$

これを再度時間微分し、③と④を代入すると、

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} ⟨ x ⟩ = - \frac{i ℏ}{m} \int (\frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial x} + ψ^{*} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial ψ}{\partial t}) d r$

$= - \frac{1}{m} \int ((- H ψ^{*}) \frac{\partial ψ}{\partial x} + ψ^{*} \frac{\partial}{\partial x} (H ψ)) d r$

$= - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{2}} \int ((\nabla^{2} ψ^{*}) \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ^{*} \frac{\partial}{\partial x} (\nabla^{2} ψ)) d r$ $- \frac{1}{m} \int ψ^{*} \frac{\partial V}{\partial x} ψ d r$