ルジャンドル多項式は、ルジャンドル方程式の特解として得られます。
ルジャンドル方程式の特解
ルジャンドル方程式は以下で表され、
$$\frac{d}{dx}\Big((1-x^2)\frac{dy}{dx}\Big)+n(n+1)y=0 -①$$
ルジャンドル多項式は、以下のように定義されます。
$$P_n(x)=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k(2n-2k-1)!!}{(2k)!!(n-2k)!}x^{n-2k} -②$$
$$m=\left\{\begin{array}{ll}
n/2 & (n:\mbox{偶数}) \\
(n-1)/2 & (n:\mbox{奇数})\end{array} \right.$$
②を導く
以下の多項式を、
$$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots -(1)$$
両辺を微分して $(1-x^2)$ を掛けると、
$$(1-x^2)y’=a_1+2a_2x+(3a_3-a_1)x^2+$$$$\cdots+\Big((k+1)a_{k+1}-(k-1)a_{k-1}\Big)x^k+\dots$$
これらを①に代入すると、
$$\Big(2a_2+n(n+1)a_0\Big)+\Big(2(3a_3-a_1)+n(n+1)a_1\Big)x+\cdots$$$$+\Big((k+1)(k+2)a_{k+2}-k(k+1)a_k+n(n+1)a_k\Big)x^k+\cdots=0$$
この各項の係数を０と置けば、
$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2}a_0$$$$a_3=-\frac{(n+2)(n-1)}{3\cdot2}a_1$$$$\cdots$$$$a_{k-2}=-\frac{(n+k-3)(n-k+4)}{(k-2)(k-3)}a_{k-4} -(2)$$$$a_k=-\frac{(n+k-1)(n-k+2)}{k(k-1)}a_{k-2} -(3)$$$$a_{k+2}=-\frac{(n+k+1)(n-k)}{(k+2)(k+1)}a_k -(4)$$
(4)より $k=n$ と置くと $a_{n+2}=0$ となることから、最高次の項は $a_n$ となります。(2) と (3) より、
$$a_k=\frac{(n+k-1)(n-k+2)(n+k-3)(n-k+4)}{k(k-1)(k-2)(k-2)}a_{k-4} -(5)$$
(3) と (5) で $k=n$ と置くと、
$$a_n=-\frac{2(2n-1)}{n(n-1)}a_{n-2}$$$$a_n=\frac{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}a_{n-4}$$
ここで $a_n$ を以下で定義すると、
$$a_n\equiv\frac{(2n-1)!!}{n!}$$
これらより (1) は以下で表され、②と一致することが分かります。
$$y=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$
ルジャンドル多項式の母関数
ルジャンドル多項式は、母関数 $(1-2tx+t^2)^{-1/2}$ の展開係数として以下のように定義することができます。
$$\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}=P_0(x)+tP_1(x)+t^2P_2(x)+\cdots -③$$
③を導く
$|x|\lt1$ として次の二項定理を使うと、
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$$
これを③の左辺に適用し、係数を書き換えると、
$$\Big(1-t(2x-t)\Big)^{-1/2}$$$$=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{3}{8}t^2(2x-t)^2+\frac{5}{16}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}t^2(2x-t)^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=\sum_{r=0}^\infty\frac{(2r-1)!!}{(2r)!!}t^r(2x-t)^r$$
次に、この右辺で $t^k$ の項が存在するのは、$m=k,k-1,k-2,\cdots$ の項であるから、
$$(2x-t)^k=(2x)^k-k(2x)^{k-1}t+\frac{k(k-1)}{2}(2x)^{k-2}t^2+\cdots$$
を使い、$t^k$ の項をまとめると、
$$\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}(2x)^kt^k-\frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!}(k-1)(2x)^{k-2}t^k$$$$+\frac{(2k-5)!!}{(2k-4)!!}\frac{(k-2)(k-3)}{2}(2x)^{k-4}t^k+\cdots$$$$=\frac{(2k-1)!!}{k!}\Big(x^k-\frac{k(k-1)}{2(2k-1)}x^{k-2}+\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(2k-1)(2k-3)2\cdot2^2}x^{k-4}+\cdots\Big)t^k$$
これは②と一致するため、③が成立つことが分かります。
ロドリグの公式
ルジャンドル多項式はロドリグの公式により表すことができます。
$$P_n(x)=\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n -④$$
④を導く
ロドリグの公式を導くため、次の展開式を使います。
$$(x^2-1)^n=x^{2n}-nx^{2n-2}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2n-4}-\cdots$$
これに対し $n$ 回微分を繰返すと、
$$\frac{d}{dx}(x^2-1)^n=2nx^{2n-1}-n(2n-2)x^{2n-3}+\frac{n(n-1)(2n-4)}{2!}x^{2n-5}-\cdots$$$$\cdots$$$$\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\frac{(2n)!}{n!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!}x^{n-4}-\cdots$$
これを④の右辺に代入すると、
$$\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$$$=\frac{(2n)!}{n!(2n)!!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!(2n)!!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!(2n)!!}x^{n-4}-\cdots$$$$=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$
これより①が導かれることが分かります。
ルジャンドル多項式の直交性
ルジャンドル多項式は以下のような直交性をもちます。
$$\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=0 (m\ne n)$$
$P_m(x)$ は $m$ 次の多項式であるから、直交性は次の式が成り立つことから分かります。
$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (n\gt m\ge0 \mathrm{or} m-n=\mbox{奇数})-⑤ \\
\frac{2\cdot m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!} & (m-n=0 \mathrm{or} \mbox{偶数}) -⑥\end{array} \right.$$
⑤⑥を導く
ロドリゲスの公式④を⑤の左辺に代入して部分積分を行うと、定積分は０になるため、
$$\int_{-1}^1x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^n(x^2-1)^ndx$$$$=\left[x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$$$=-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$
これを $k$ 回繰返すと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^km!}{(m-k)!}\int_{-1}^1x^{m-k}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-k}(x^2-1)^ndx$$
$n\gt m$ のとき $k=m$ と置くと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=(-1)^mm!\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m}(x^2-1)^ndx$$$$=(-1)^mm!\left[\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1=0$$
$m\gt n$ のとき $k=n$ と置くと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\int_{-1}^1x^{m-n}(x^2-1)^ndx -(6)$$
$p$ と $q$ を０または正の整数とし、部分積分を $q$ 回繰返すと、
$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx$$$$=\left[\frac{x^{p+1}}{p+1}(x^2-1)^q\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{x^{p+1}}{p+1}\cdot2qx(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=-\frac{2q}{p+1}\int_{-1}^1x^{p+2}(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=(-1)^2\frac{2^2q(q-1)}{(p+1)(p+3)}\int_{-1}^1x^{p+4}(x^2-1)^{q-2}dx$$$$\cdots$$$$=(-1)^q\frac{2^qq!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q-1)}\int_{-1}^1x^{p+2q}dx$$
右辺の積分を計算すると、
$$\int_{-1}^1x^{p+2q}dx=\left[\frac{x^{p+2q+1}}{p+2q+1}\right]_{-1}^1=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (p=\mbox{奇数}) \\
\frac{2}{p+2q+1} & (p=\mbox{偶数})\end{array} \right.$$
従って、
$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx=(-1)^q\frac{2^{q+1}q!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q+1)}$$
$$=(-1)^q\frac{2(2q)!!(p-1)!!}{(p+2q+1)!!}$$
ここで $p=m-n$ 、$q=n$ と置くと (6) は、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\cdot(-1)^n\frac{2(2n)!!(m-n-1)!!}{(m+n+1)!!}$$
さらに $(m-n)!=(m-n)!!(m-n-1)!!$ であるから、
$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{2m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!}$$
以上より、⑥が導かれることが分かります。
ルジャンドル陪関数
ルジャンドル倍関数 $P_n^m$ は球面調和関数 $Y_n^m$ により以下で定義されます。
$$Y_n^m(\theta,\phi)=P_n^m(\cos{\theta})e^{im\phi} (-n\le m\le n) -⑧$$
以下の球面調和関数の母関数により
$$\Big(-\frac{x+iy}{2}t^2+zt+\frac{x-iy}{2}\Big)^n=\sum_{m=-n}^n(-1)^m\frac{n!}{(n+m)!}r^nY_n^m(\theta,\phi)t^{n+m} -⑨$$
ルジャンドル倍関数とルジャンドル関数 $P_n$ の関係は以下で表されます。
$$P_n^m(\cos{\theta})=\sin^m{\theta}\Big(\frac{d}{d\cos{\theta}}\Big)^mP_n(\cos{\theta}) -⑩$$
⑩を導く
（$x,y,z$）を極座標（$r,\theta,\phi$）に変換し、
$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$$$z=r\cos{\theta}$$
$r=1$ 、$\phi=0$ と置いて書き替えると、
$$x+iy=re^{i\phi}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$$$x-iy=re^{-i\phi}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$
⑨に⑧に代入し、上記を使うと、
$$\Big(-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\Big)^n=\sum_{m=-n}^n(-1)^m\frac{n!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta})t^{n+m} -(7)$$
この左辺を $F(t)$ と置いて、これを $2n+1$ 個の項を持つテイラー展開で表すと、
$$F(t)=\sum_{k=0}^{2n}F^{(k)}(0)\frac{t^k}{k!}=\sum_{m=-n}^{n}F^{(m+n)}(0)\frac{t^{m+n}}{(m+n)!}$$
ここで最後の項は $k=m+n$ と置いています。この右辺と(7)を比べると、
$$(-1)^mn!P_n^m(\cos{\theta})=\left[\Big(\frac{d}{dt}\Big)^{m+n}\Big(-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\Big)^n\right]_{t=0} -(8)$$
ここで、$s\equiv\cos{\theta}-t\sin{\theta}$ と置くと、
$$\frac{d}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{d}{ds}=-\sin{\theta}\frac{d}{ds}$$$$-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}=\frac{1-s^2}{2\sin{\theta}}$$
これらを (8) の右辺に代入すると、
$$(-1)^mn!P_n^m(\cos{\theta})=(-\sin{\theta})^{n+m}\Big(\frac{d}{ds}\Big)^{n+m}\left[\frac{(-1)^n(s^2-1)^n}{2^n\sin^n{\theta}}\right]_{s=\cos{\theta}}$$$$P_n^m(\cos{\theta})=\frac{\sin^m{\theta}}{2^nn!}\Big(\frac{d}{ds}\Big)^{n+m}\Big[(s^2-1)^n\Big]_{s=\cos{\theta}}$$
以下のロドリグの公式で $x=\cos{}$ と置くことで以下⑩が得られます。
$$P_n^m(\cos{\theta})=\sin^m{\theta}\Big(\frac{d}{d\cos{\theta}}\Big)^mP_n(\cos{\theta})$$
