二項定理とは
二項定理とは、二項式のべき展開を表した式です。具体的には以下のようになります。
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$$$(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$$$\cdots$$$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_kx^{n-k}y^k -①$$$${}_nC_k\equiv\frac{n!}{(n-k)!k!}$$
特に $y=1$ の場合は以下になります。
$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_kx^k$$$$=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\cdots$$
二項定理を導く
二項定理を数学的帰納法で導きます。まず、$n=1$ の場合は以下の通り成立つことが分かります。
$$(x+y)^1=\sum_{k=0}^1{}_1C_kx^{1-k}y^k=x+y$$
次に、の場合に成り立つと仮定します。
$$(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_kx^{n-1-k}y^k$$
そして、以下を計算すると、
$$(x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1}$$$$=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_kx^{n-1-k}y^k$$$$=\sum_{k=0}^{n-1}\Big({}_{n-1}C_kx^{n-k}y^k+{}_{n-1}C_kx^{n-1-k}y^{k+1}\Big)$$$$=\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_kx^{n-k}y^k+\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}C_{k-1}x^{n-k}y^k$$
最後の第２項は $k\to k-1$ としています。まず、$k=0$ の場合は第１項より、
$${}_{n-1}C_0x^n=x^n -(1)$$
$k=n$ の場合は第２項より、
$${}_{n-1}C_{n-1}y^n=y^n -(2)$$
残りの $1\le k \le n-1$ の場合は、
$$\sum_{k=1}^{n-1}\Big({}_{n-1}C_kx^{n-k}y^k+{}_{n-1}C_{k-1}x^{n-k}y^k\Big)$$$$=\sum_{k=1}^{n-1}{}_nC_kx^{n-k}y^k -(3)$$
(1)、(2)、(3) より①が導かれます。尚、最後は以下の関係式を使っています。
$${}_nC_k={}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_k -(4)$$
この関係式は以下のようにして導かれます。右辺より、
$${}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_k=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!}$$$$=\frac{(n-1)!k}{(n-k)!(k-1)!k}+\frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)(n-k-1)!k!}$$$$=\frac{n(n-1)!}{(n-k)!k!}={}_nC_k$$
