MHD方程式
MHD方程式とは、磁気流体力学（MHD：Magneto Hydro Dynamics）で導かれる方程式のセットです。
- 連続の方程式
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0 -①$$ - 運動方程式
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}={\bf J}\times{\bf B}-\nabla p -②$$ - 電磁気の方程式
$$\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}=\nabla\times({\bf v}\times{\bf B}-\eta{\bf J}) -③$$$$\nabla\times{\bf B}=\mu_0{\bf J} -④$$ - ポアソンの状態方程式
$$\frac{d}{dt}(p\rho^{-\gamma})=0 -⑤$$
ここで変数は、質量密度 $\rho$ 、速度 ${\bf v}$ 、電流密度 ${\bf J}$ 、磁場 ${\bf B}$ 、圧力 $p$ の11個で、方程式も11個であるため、これらの方程式を解くことができます。
尚、電流密度は、粒子数 $n$ 、粒子電荷 $q$ により以下のように定義されます。添え字の $i$ はイオン、$e$ は電子を表されます。
$${\bf J}=n_iq_i{\bf v}_i+n_eq_e{\bf v}_e -⑥$$
また、磁気流体方程式を導く際に、$m_i\gg m_e$ 、$q_i=-q_e$ より以下のような近似を仮定します。
$$n_iq_i+n_eq_e=0 -⑦$$$$\rho=n_im_i+n_em_e\cong n_im_i -⑧$$$${\bf v}=\frac{(m_in_i{\bf v}_i+m_en_e{\bf v}_e)}{\rho}\cong{\bf v}_i -⑨$$
磁気流体方程式は、２流体プラズマの方程式にプラズマ近似を用いると得ることができます。
①を導く
２流体プラズマの連続の方程式より、
$$\frac{\partial n_i}{\partial t}+\nabla\cdot(n_i{\bf v}_i)=0$$$$\frac{\partial n_e}{\partial t}+\nabla\cdot(n_e{\bf v}_e)=0$$
これらにそれぞれ $m_i$ と $m_e$ を掛けて和を取ると、
$$\frac{\partial}{\partial t}(m_in_i+m_en_e)+\nabla\cdot(m_in_i{\bf v}_i+m_en_e{\bf v}_e)=0$$
この第１項に⑧、第２項に⑨を使うと①が得られます。
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0$$
②を導く
２流体プラズマの運動方程式より、
$$m_in_i\Big(\frac{\partial{\bf v}_i}{\partial t}+({\bf v}_i\cdot\nabla){\bf v}_i\Big)=n_iq_i({\bf E}+{\bf v}_i\times{\bf B})-\nabla p_i$$$$m_en_e\Big(\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e\Big)=n_eq_e({\bf E}+{\bf v}_e\times{\bf B})-\nabla p_e$$
これらの和を取り、右辺に⑥と⑦を使うと、
$$m_in_i\Big(\frac{\partial{\bf v}_i}{\partial t}+({\bf v}_i\cdot\nabla){\bf v}_i\Big)+m_en_e\Big(\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e\Big)={\bf J}\times{\bf B}-\nabla p$$
尚、右辺第２項は以下の関係を使っています。
$$p\equiv p_i+p_e$$
左辺は $m_i\gg m_e$ より第２項を無視し、⑧と⑨を使うと②が得られます。
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}={\bf J}\times{\bf B}-\nabla p$$
③を導く
２流体プラズマの方程式の中のファラデーの法則
$$\nabla\times{\bf E}=-\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} -⑩$$
に、オームの法則
$$\eta{\bf J}={\bf E}+{\bf v}\times{\bf B} -⑪$$
を代入すると、③が得られます。
尚、このオームの法則は次のように求められます。力 $F$ で電荷 $q$ を距離 $s$ 移動させたときの仕事量 $W$ は、電位差 $V$ により以下で求められます。
$$W=Fs=qV$$
ここで、$V=RJ$ を使い、抵抗密度を $\eta$ とすると、
$$F=q\frac{R}{s}J=q\eta J$$
電荷に働く力はクーロン力とローレンツ力、つまり ${\bf F}=q({\bf E}+{\bf v}\times{\bf B})$ であるため、⑪を得ることができます。
④を導く
２流体プラズマの方程式の中のアンペールの法則
$$\nabla\times{\bf B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}+\mu_0(n_iq_i{\bf v}_i+n_eq_e{\bf v}_e)$$
の左辺の第１項について、変位電流が光速度に比べ十分に小さい場合、これを省略できます。そして、第２項に⑥を使うと、④が導かれます。
保存形の方程式
保存形の磁気流体方程式は以下になります。
- 質量の保存式
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0 -①$$ - 運動量の保存式
$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})+\nabla\cdot\Big[\rho{\bf v}{\bf v}+\Big(p+\frac{B^2}{2\mu_0}\Big){\bf 1}-\frac{{\bf B}{\bf B}}{\mu_0}\Big]=0 -⑫$$ - エネルギーの保存式
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\nabla\cdot\Big(\frac{\rho}{2}v^2{\bf v}+\frac{\gamma p}{\gamma-1}{\bf v}+\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{\mu_0}\Big)=0 -⑬$$$$U=\frac{\rho}{2}v^2+\frac{p}{\gamma-1}+\frac{B^2}{2\mu_0}$$
⑫を導く
②の右辺に④を代入すると、
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times{\bf B})\times{\bf B}-\nabla p -(1)$$
この右辺第１項の $x$ 成分を計算すると、
$$\Big[(\nabla\times{\bf B})\times{\bf B}\Big]_x=\Big(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}\Big)B_z-\Big(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}\Big)B_y$$$$=B_z\frac{\partial B_x}{\partial z}+B_y\frac{\partial B_x}{\partial y}+B_x\frac{\partial B_x}{\partial x}-B_x\frac{\partial B_x}{\partial x}-B_y\frac{\partial B_y}{\partial x}-B_z\frac{\partial B_z}{\partial x}$$$$=\frac{\partial}{\partial x}(B_xB_x)+\frac{\partial}{\partial y}(B_xB_y)+\frac{\partial}{\partial z}(B_xB_z)-B_x\frac{\partial B_x}{\partial x}-B_x\frac{\partial B_y}{\partial y}-B_x\frac{\partial B_z}{\partial z}$$$$-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}(B_x^2+B_y^2+B_z^2)$$
ここで第４項～第６項は $\nabla\cdot{\bf B}=0$ より０になります。また、第１項～第３項はテンソル ${\bf B}{\bf B}$ で表し、最後の項はスカラーであるため単位テンソル ${\bf 1}$ を使うと次のように書き換えることができます。
$$\Big[(\nabla\times{\bf B})\times{\bf B}\Big]=\nabla\cdot({\bf B}{\bf B})-\nabla\cdot\Big(\frac{B^2}{2}{\bf 1}\Big) -(2)$$
一方、(1)の左辺は、
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})-{\bf v}\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}$$$$=\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})+{\bf v}\nabla\cdot(\rho{\bf v})+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}$$
ここで第２項は①を使いました。この第２項と第３項を書き換えると、
$$v_x\frac{\partial}{\partial x}(\rho v_x)+v_x\frac{\partial}{\partial y}(\rho v_y)+v_x\frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z)+\rho\Big(v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\Big)$$$$=\frac{\partial}{\partial x}(\rho v_xv_x)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v_x v_y)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho v_xv_z)$$
これらの項はテンソル ${\bf v}{\bf v}$ で表すことができるため、
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})+\nabla\cdot(\rho{\bf v}{\bf v}) -(3)$$
(1)の右辺第２項にテンソルで書き換えると、
$$-\nabla p=-\nabla\cdot(p{\bf 1}) -(4)$$
これら (2)、(3)、(4)を (1)を代入すると⑫が得られます。
$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})+\nabla\cdot(\rho{\bf v}{\bf v})=\nabla\cdot(\frac{{\bf B}{\bf B}}{\mu_0})-\nabla\cdot\Big(\frac{B^2}{2\mu_0}{\bf 1}\Big)-\nabla\cdot(p{\bf 1})$$
⑬を導く
②に④を代入し、のスカラー積を取ると、
$$\rho{\bf v}\cdot\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho{\bf v}\cdot({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\frac{1}{\mu_0}{\bf v}\cdot(\nabla\times{\bf B})\times{\bf B}-{\bf v}\cdot\nabla p -(5)$$
(5)の左辺第１項は、①を使うと、
$$\rho{\bf v}\cdot\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v^2\Big)-\frac{v^2}{2}\frac{\partial \rho}{\partial t}$$$$=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v^2\Big)+\frac{v^2}{2}\nabla\cdot(\rho{\bf v}) -(6)$$
(5)の左辺第２項は、
$$\rho{\bf v}\cdot({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\rho v_x\Big(v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\Big)$$$$+\rho v_y\Big(v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\Big)+\rho v_z\Big(v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\Big)$$$$=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\rho}{2}v^2v_x\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\rho}{2}v^2v_y\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{\rho}{2}v^2v_z\Big)$$$$-\frac{v^2}{2}\frac{\partial}{\partial x}(\rho v_x)-\frac{v^2}{2}\frac{\partial}{\partial y}(\rho v_y)-\frac{v^2}{2}\frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z)$$$$=\nabla\cdot\Big(\frac{\rho}{2}v^2{\bf v}\Big)-\frac{v^2}{2}\nabla\cdot(\rho{\bf v})$$
これと(6)を合わせると、(5)の左辺は以下になります。
$$\rho{\bf v}\cdot\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho{\bf v}\cdot({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v^2\Big)+\nabla\cdot\Big(\frac{\rho}{2}v^2{\bf v}\Big) -(7)$$
次に⑤の左辺を計算すると、
$$\frac{d}{dt}(p\rho^{-\gamma})=\rho^{-\gamma}\frac{dp}{dt}-\gamma p\rho^{-\gamma-1}\frac{d\rho}{dt}$$$$=\frac{\partial p}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla)p-\gamma p\rho^{-1}\Big(\frac{\partial\rho}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla)\rho\Big)$$
第３項を①を使って書き換えると、
$$=\frac{\partial p}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla)p+\gamma p\nabla\cdot{\bf v}$$$$=\frac{\partial p}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla)p+\gamma\nabla\cdot(p{\bf v})-\gamma({\bf v}\cdot\nabla)p$$
これは０になるため、
$$({\bf v}\cdot\nabla)p=\frac{\gamma}{\gamma-1}\nabla\cdot(p{\bf v})+\frac{1}{\gamma-1}\frac{\partial p}{\partial t} -(8)$$
そして(5)の右辺第１項にベクトル公式 ${\bf C}\cdot({\bf A}\times{\bf B})=({\bf B}\times{\bf C})\cdot{\bf A}$ を使い、$\eta=0$ としたオームの法則⑩を代入すると、
$${\bf v}\cdot(\nabla\times{\bf B})\times{\bf B}=-({\bf v}\times{\bf B})\cdot(\nabla\times{\bf B})$$$$={\bf E}\cdot(\nabla\times{\bf B})$$
さらにベクトル公式 $\nabla\cdot({\bf A}\times{\bf B})={\bf B}\cdot(\nabla\times{\bf A})-{\bf A}\cdot(\nabla\times{\bf B})$ を使い、⑪を代入すると、
$$={\bf B}\cdot\nabla\times{\bf E}-\nabla\cdot({\bf E}\times{\bf B})=-{\bf B}\cdot\Big(\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}\Big)-\nabla\cdot({\bf E}\times{\bf B}) -(9)$$
(7)、(8)、(9)を(5)に代入すると⑬が得られます。
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v^2\Big)+\nabla\cdot\Big(\frac{\rho}{2}v^2{\bf v}\Big)=-\frac{1}{\mu_0}\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{B^2}{2}\Big)-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot({\bf E}\times{\bf B})$$$$-\frac{\gamma}{\gamma-1}\nabla\cdot(p{\bf v})-\frac{1}{\gamma-1}\frac{\partial p}{\partial t}$$
