電磁波
電磁波とは、電場と磁場の変化を伝搬する波（波動）で、その波長により電波、赤外線、可視光、紫外線、エックス線などと呼ばれます。電磁波は、回折や干渉などの波としての性質の他、微視的には粒子（光子）として個数を数えることができます。
電磁波は、以下のマクスウェル方程式
$$\nabla\times{\bf E}=-\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} -①$$$$\nabla\times{\bf H}=\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}+{\bf J} -②$$$$\nabla\cdot{\bf D}=\rho -③$$$$\nabla\cdot{\bf B}=0 -④$$
$${\bf J}=\sigma{\bf E}$$$${\bf D}=\epsilon{\bf E} , {\bf B}=\mu{\bf H}$$
で電荷の無い空間 $\rho=0$ を仮定すると以下が得られます。（⑤⑥を導く）
$$\nabla^2{\bf E}=\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf E}}{\partial t^2}+\sigma\mu\frac{\partial{\bf E}}{\partial t} -⑤$$$$\nabla^2{\bf H}=\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf H}}{\partial t^2}+\sigma\mu\frac{\partial{\bf H}}{\partial t} -⑥$$
とくに完全絶縁体 $\sigma=0$ の場合は、以下の波動方程式が得られます。
$$\nabla^2{\bf E}=\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf E}}{\partial t^2} -⑦$$$$\nabla^2{\bf H}=\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf H}}{\partial t^2} -⑧$$
この波動方程式に従う波が電磁波で、その伝播速度は光速度 $c$ になります。
$$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}$$
エネルギー保存則
電磁場のエネルギー密度は以下で表されます。
$$U=\frac{1}{2}({\bf E}\cdot{\bf D}+{\bf H}\cdot{\bf B}) -⑨$$
このとき電磁波のエネルギー保存則は以下で表されます。（⑩を導く）
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf S}+{\bf E}\cdot{\bf J}=0 -⑩$$$${\bf S}\equiv{\bf E}\times{\bf H}$$
左辺第２項の ${\bf S}$ はエネルギーの流れを表しており、ポインティング･ベクトルと呼ばれています。同第３項は電流による発熱を表します。
平面波
平面電磁波とは、任意の軸（ここでは $z$ 軸）に垂直な平面上で電場と磁場が一定である電磁波です。電場と磁場は $z$ と $t$ の関数として表されます。
$${\bf E}={\bf E}(z,t) , {\bf H}={\bf H}(z,t)$$
真空中の平面電磁波
真空中（ $\sigma=0$ ）の場合のマクスウェル方程式①～④は以下のように書き替えられます。
$$-\frac{\partial E_y}{\partial z}=-\mu\frac{\partial H_x}{\partial t} , \frac{\partial E_x}{\partial z}=-\mu\frac{\partial H_y}{\partial t} -⑪$$$$\frac{\partial H_z}{\partial t}=\frac{\partial H_z}{\partial z}=0 -⑫$$$$-\frac{\partial H_y}{\partial z}=\epsilon\frac{\partial E_x}{\partial t} , \frac{\partial H_x}{\partial z}=\epsilon\frac{\partial E_y}{\partial t} -⑬$$$$\frac{\partial E_z}{\partial t}=\frac{\partial E_z}{\partial z}=0 -⑭$$
⑪と⑬により、以下の波動方程式が導かれます。また、⑫と⑭より、$E_z$ と $H_z$ は定数になりますが、波動現象に関係ないため０と置きます。
$$\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E_x}{\partial t^2} , \frac{\partial^2E_y}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E_y}{\partial t^2} -⑮$$$$\frac{\partial^2H_x}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2H_x}{\partial t^2} , \frac{\partial^2H_y}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2H_y}{\partial t^2} -⑯$$
$$E_z=H_z=0$$
⑮を満たす解は以下のような形で表されます。これらは $z$ 軸の正方向に進む波を表しますが、$z$ 軸の負方向に進む波の場合は、括弧の中の符号がプラスになります。
$$E_x=f(z-ct) , E_y=g(z-ct) -⑰$$
これを⑪に代入し、積分定数を０と仮定する、磁場は以下で表されます。
$$H_x=-\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}E_y , H_y=\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}E_x -⑱$$
これより、平面電磁波は進行方向に垂直な平面上で、電場 $E$ と磁場 $H$ は一定になることが分かります。また、⑰と⑱より以下の関係が得られ、電場と磁場が互いに垂直（横波）であることが分かります。
$$E_xH_x+E_yH_y=0$$
導体中の平面電磁波
導体中（ $\sigma\ne0$ ）の場合の波動方程式は、電場の方向を $x$ 軸に取ると以下で表されます。これは電信方程式と呼ばれています。
$$\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2}=\epsilon\mu\frac{\partial^2E_x}{\partial t^2}+\sigma\mu\frac{\partial E_x}{\partial t} -⑲$$$$\frac{\partial^2H_y}{\partial z^2}=\epsilon\mu\frac{\partial^2H_y}{\partial t^2}+\sigma\mu\frac{\partial H_y}{\partial t} -⑳$$
この電信方程式の解は以下で表されます。（㉑を導く）
$$E_x=e^{-\alpha z}e^{i(\omega t-\beta z)} -㉑$$
$$\alpha\equiv\left(\frac{\omega^2\epsilon\mu}{2}\Big(\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2}}-1\Big)\right)^{1/2}$$$$\beta\equiv\left(\frac{\omega^2\epsilon\mu}{2}\Big(\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2}}+1\Big)\right)^{1/2}$$
ここで、伝導率の高い導体（ $\sigma/\epsilon\mu\gg1$ ）の場合は以下になります。
$$\alpha\cong\frac{\omega\sigma\mu}{2}\equiv\frac{1}{\delta}$$
これは $z=\delta$ のところで振幅が $1/e$ に減衰することを表しており、$\delta$ は電磁波の侵入（表皮効果）の深さと呼ばれています。
導出
⑤⑥を導く
⑤を導くには、②の両辺を時間微分して①を代入すると、
$$\nabla\times\frac{\partial{\bf H}}{\partial t}=\frac{\partial^2{\bf D}}{\partial t^2}+\frac{\partial{\bf J}}{\partial t}$$$$-\frac{1}{\mu}\nabla\times\nabla\times{\bf E}=\epsilon\frac{\partial^2{\bf E}}{\partial t^2}+\sigma\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}$$
ここで公式
$$\nabla\times\nabla\times{\bf E}=\nabla(\nabla\cdot{\bf E})-\nabla^2{\bf E}$$
を使い、③で $\rho=0$ とすると、⑤が得られます。
$$\nabla^2{\bf E}=\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf E}}{\partial t^2}+\sigma\mu\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}$$
⑥を導くには、①の両辺を時間微分して②を代入し、上記と同様に計算すると得られます。
⑩を導く
以下のベクトルの恒等式を使い
$$\nabla\cdot({\bf E}\times{\bf H})={\bf H}\cdot(\nabla\times{\bf E})-{\bf E}\cdot(\nabla\times{\bf H})$$
①と②を代入すると、⑩が得られます。
$$\nabla\cdot({\bf E}\times{\bf H})=-{\bf H}\cdot\Big(\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}\Big)-{\bf E}\cdot\Big(\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}+{\bf J}\Big)$$$$=-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}({\bf H}\cdot{\bf B}+{\bf E}\cdot{\bf D})-{\bf E}\cdot{\bf J}$$
㉑を導く
解の形を $E_x=e^{i\omega t}e^{-kz}$ と置いて⑲に代入すると、
$$k^2E_x=(-\omega^2\epsilon\mu+i\omega\sigma\mu)E_x$$
ここで $k=\alpha+i\beta$ と置いて、
$$(\alpha+i\beta)^2=-\omega^2\epsilon\mu+i\omega\sigma\mu$$
より $\alpha$ と $\beta$ を求めることができます。
$$\alpha^2=\frac{\omega^2\epsilon\mu}{2}\Big(\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2}}-1\Big)$$$$\beta^2=\frac{\omega^2\epsilon\mu}{2}\Big(\sqrt{1+\frac{\sigma^2}{\omega^2\epsilon^2}}+1\Big)$$
