複素数（数Ⅲ）
複素数 $z$ は虚数 $i$ と実数 $a$ 、$b$ により以下で定義されます。
$$z=a+bi$$
複素共役と絶対値
- 複素数 $z$ の共役を $z^*$ で表すと以下の関係が成り立ちます。
$(z^*)^*=z$
$z$ が実数 ⇔ $z^*=z$
$z$ が純虚数 ⇔ $z^*=-z$
$z+z^*$ 、$zz^*$ は常に実数で、特に $zz^*\ge0$
- 複素数の演算は以下になります。
$$(z_1\pm z_2)^*=z_1^*\pm z_2^*$$$$(z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*$$$$\Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)^*=\frac{z_1^*}{z_2^*} (z_2\ne0)$$$$(z^n)^*=(z^*)^n$$ - 複素数の絶対値は以下で定義されます。
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ - 複素数の絶対値の性質は以下になります。
$$|z|=0 \Leftrightarrow z=0$$$$|z|=|-z|=|z^*|$$$$zz^*=|z|^2$$$$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$$$$\Big|\frac{z_1}{z_2}\Big|=\frac{|z_1|}{|z_2|} (z_2\ne0)$$
２点 $z_1$ 、$z_2$ 間の距離：$|z_2-z_1|$
極形式
- 複素数 $z=a+bi$ を極形式で表すと以下になります。
$$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$$$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$$$\theta=\tan^{-1}{\frac{b}{a}}$$ - ２つの複素数 $z_1$ 、$z_2$ を以下の極形式で表すと、
$$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})$$$$z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$$ - 極形式の乗法は以下になります。
$z_1$ に $z_2$ を掛けると、$z_1$ の原点からの距離 $r_2$ を倍し、角 $\theta_2$ 回転させる変換になります。
$$z_1z_2=r_1r_2\Big(\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)}\Big)$$$$\arg{z_1z_2}=\arg{z_1}+\arg{z_2}$$
- 極形式の除法は以下になります。
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\Big(\cos{(\theta_1-\theta_2)}+i\sin{(\theta_1-\theta_2)}\Big)$$$$\arg{\frac{z_1}{z_2}}=\arg{z_1}-\arg{z_2}$$
ド･モアブルの定理
- $n$ が整数のとき以下の関係が成り立ちます。
$$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$$ - １の乗根は $n$ 個存在し、それを $z_k$（$k=0,1,\cdots,n-1$）とすると以下で表されます。
$$z_k=\cos{\frac{2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{2k\pi}{n}}$$
複素数と図形
- 複素数 $z_1,z_2$ を結ぶ線分を $\overline{z_1z_2}$ とすると、内分点・外分点・中点は以下になります。
$$\mbox{線分 }\overline{z_1z_2}\mbox{ を }m:n\mbox{ に内分する点} : \frac{nz_1+mz_2}{m+n}$$$$\mbox{線分 }\overline{z_1z_2}\mbox{ を }m:n\mbox{ に外分する点} : \frac{-nz_1+mz_2}{m-n}$$$$\mbox{線分の中点 }: \frac{z_1+z_2}{2}$$ - 原点０と２つの複素数 $\alpha$ 、$\beta$ の３点が直線上にある場合、$\beta=k\alpha$ の関係が成り立つ実数 $k$ が存在します。
- 複素数の方程式の表す図形について、
$|z-z_0|=r$（$r\gt0$）は中心 $z_0$ 、半径 $r$ の円
$$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=\frac{m}{n} \left\{\begin{array}{ll}
m=n & \mbox{線分の垂直二等分線} \\
m\ne n & m:n\mbox{の内分点と外分点を両端とする円} \end{array}\right.$$
$$\frac{z_1-z_0}{z_2-z_0} \left\{\begin{array}{ll}
\mbox{実数} & \Leftrightarrow \overline{z_0z_1}\parallel\overline{z_0z_2} \\
\mbox{純拠数} & \Leftrightarrow \overline{z_0z_1}\perp\overline{z_0z_2} \end{array}\right.$$
- 線分 $\overline{z_0z_1}$ と線分 $\overline{z_0z_2}$ のなす角を $\angle\overline{z_1z_0z_2}$ で表すと、
$$\angle\overline{z_1z_0z_2}=\arg{\frac{z_1-z_0}{z_2-z_0}}$$
極限（数Ⅲ）
数列の極限
$k\to\infty$ のとき $a_k\to\alpha$ 、$b_k\to\beta$ ならば、
$$\lim_{k\to\infty}(ma_k+nb_n)=m\alpha+n\beta$$$$\lim_{k\to\infty}a_kb_n=\alpha\beta$$$$\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\frac{\alpha}{\beta}$$
$$\lim_{k\to\infty}r^k= \left\{\begin{array}{ll}
\infty & r\gt10 \\
1 & r=1 \\
0 & |r|\lt1 \\
\mbox{振動} & r\le-1 \end{array}\right.$$
無限級数
- 無限級数が収束する条件
$$\sum_{k=1}^\infty a_k \mbox{が収束} \Leftrightarrow \lim_{k\to\infty}a^k=0$$ - 特に無限等比級数の場合
$$\sum_{k=1}^\infty a_k=\frac{a}{1-r} (|r|\lt1)$$ - 循環小数の表示
$$0.444\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{4}{10}\Big(\frac{1}{10}\Big)^{k-1}=\frac{4}{10}\cdot\frac{1}{1-1/10}=\frac{4}{9}$$
関数の極限
- $x\to a$ のとき $f(x)\to\alpha$ 、$g(x)\to\beta$ ならば、
$$\lim_{x\to a}\Big(mf(x)+ng(x)\Big)=m\alpha+n\beta$$$$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$$$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$$ - 特に $f(x)\le h(x)\le g(x)$ で $\alpha=\beta$ ならば、
$$\lim_{x\to a}h(x)=\alpha$$ - 対数関数の極限
$$(a\gt 1) \lim_{x\to\infty}\log_a{x}=\infty , \lim_{x\to+0}\log_a{x}=-\infty$$$$(0\lt a\lt 1) \lim_{x\to\infty}\log_a{x}=-\infty , \lim_{x\to+0}\log_a{x}=\infty$$
- 三角関数の極限
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin{x}}=1$$$$\lim_{x\to0}\frac{\tan{x}}{x}=1$$ - 関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続とは、
閉区間で連続な関数は、その閉区間で最大値と最小値をもちます。
$$\mbox{極限値} \lim_{x\to a}f(x) \mbox{が存在して} \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$
