クラメルの公式
クラメルの公式とは、連立１次方程式の解を行列式により求める手法です。尚、変数の数と方程式の数が等しいことが前提となります。
変数の数と方程式の数が $n$ の場合の連立１次方程式を、
$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1$$$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2$$$$\cdots$$$$a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n$$
これを行列で表すと、
$$A{\bf x}={\bf b} -①$$
$$A\equiv\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right)$$$$
{\bf x}\equiv\left(\begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{array}\right) , {\bf b}\equiv\left(\begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_n \end{array}\right)$$
このとき、$A$ の行列式が $|A|\ne0$ であれば逆行列 $A^{-1}$ が存在し、①は以下のように書き替えることができるため、連立１次方程式の解 ${\bf x}$ を得ることができます（③を導く）。
$${\bf x}=A^{-1}{\bf b} -②$$
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array}\right) -③$$
この③の列ベクトルの第 $j$ 成分を書き出すと、行列 $A$ の第 $j$ 列を ${\bf b}$ で置き換えた行列の行列式を、第 $j$ 列について展開した式で表すことができます（⑤を導く）。
$$x_j=\frac{1}{|A|}\Big(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}\Big) -④$$$$=\frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1\,j-1} & b_1 & a_{1\,j+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2\,j-1} & b_2 & a_{2\,j+1} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\,j-1} & b_n & a_{n\,j+1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right| -⑤$$
尚、③の $A_{ij}$ は $A$ の余因子と呼ばれ、$A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものとして定義されます。
$$A_{ij}\equiv(-1)^{i+j}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i-1\,1} & \cdots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} & \cdots & a_{i-1\,n} \\
a_{i+1\,1} & \cdots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} & \cdots & a_{i+1\,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -⑥$$
ｎ＝２の場合
$n=2$ の場合の連立１次方程式は、
$$a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1$$$$a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2$$
クラメルの公式は以下になります。
$$x_1=\frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{ccc} b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22} \\ \end{array}\right|=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$
$$x_2=\frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2 \\ \end{array}\right|=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$
式の導出
逆行列の公式を導く
行列 $A$ と③の積の $(i,j)$ 成分は、
$$(A^{-1}A)_{ij}=\frac{1}{|A|}\Big(A_{1i}a_{1j}+A_{2i}a_{2j}+\cdots+A_{ni}a_{nj}\Big) -(1)$$
行列式 $|A|$ を第 $j$ 列について展開すると、
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right|+\cdots+
\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right|+\cdots$$$$=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & 1 & \cdots & a_{1n} \\
\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right|a_{1j}+\cdots+
\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\ a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right|a_{ij}+\cdots$$$$=A_{1j}a_{1j}+\cdots+A_{ij}a_{ij}+\cdots+A_{nj}a_{nj}$$
これは $i=j$ の場合の (1) の分子に等しいため、
$$(A^{-1}A)_{ii}=1$$
一方、 $i\ne j$ の場合の (1) の分子は、行列式 $|A|$ を第 $i$ 列について展開した式ですが、行列 $A$ の $i$ 列が $j$ 列の要素と等しいことを示しています。しかし、行列式の性質より、２つの列が等しい行列の行列式は０になるため、
$$(A^{-1}A)_{ij}=0 (i\ne j)$$
従って、③は $A$ の逆行列になっていることが分かります。
$$A^{-1}A=1$$
また、$A^{-1}$ と $A$ を入れ替えた場合も、同様の手順で１になることが導かれます。
$$(AA^{-1})_{ij}=\frac{1}{|A|}\Big(a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}\Big) -(2)$$$$AA^{-1}=1$$
クラメルの公式を導く
②を計算すると、
$${\bf x}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_n \end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{ccc} A_{11}b_1+A_{21}b_2+\cdots+A_{n1}b_n \\
A_{12}b_1+A_{22}b_2+\cdots+A_{n2}b_n \\
\cdots \\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\cdots+A_{nn}b_n \end{array}\right)$$
従って、
$$x_i=\frac{1}{|A|}\Big(A_{1i}b_1+A_{2i}b_2+\cdots+A_{ni}b_n\Big) -(3)$$
(3) と (1) と比べると、(3) は行列 $A$ の第 $i$ 列を ${\bf b}$ で置き替えた行列の行列式を第 $i$ 列について展開した式になっていることが分かります。これにより⑤が導かれます。
