エバース・モルモデル
エバース・モルモデル（Ebers-Moll model）とは、トランジスタを、順電圧を掛けたPN接合ダイオードと逆電圧を掛けたPN接合ダイオードの組合せと考えるモデルです。PN接合ダイオードの電流特性は以下で表されるため、
$$J=a\Big(e^{eV/kT}-1\Big)$$
トランジスタの電流特性は以下で考えます。ここで $V_{EB}$ はエミッタ-ベース間の電圧で、$V_{CB}$ はベース-コレクタ間の電圧です。理想的なトランジスタでは、係数 $a_{11}$ 、$a_{12}(=a_{21})$ 、$a_{22}$ は定数となります。
$$I_E=a_{11}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+a_{12}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big) -①$$$$I_C=a_{21}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+a_{22}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big) -②$$
尚、エミッタ電流 $I_E$ 、ベース電流 $I_B$ 、コレクタ電流 $I_C$ は、トランジスタへの入力方向を正として以下のように表わします。
$$I_E+I_B+I_C=0 -③$$
順方向電流増幅率 $\alpha$ は、$V_{CB}=0$ とした場合の電流比で表し、
$$\alpha=-\frac{I_C}{I_E}=-\frac{a_{21}}{a_{11}}$$
また、逆方向電流増幅率 $\alpha_r$ は、$V_{EB}=0$ とした場合の電流比で表します。
$$\alpha_r=-\frac{I_E}{I_C}=-\frac{a_{12}}{a_{22}}$$
電流特性
①は以下のように書き換えられます。尚、右辺は $\alpha_r\ll1$ および $eV_{EB}\gg kT$ と置いています。これよりエミッタ電流 $I_E$ は、$V_{EB}$ に対し指数関数的に増加することが分かります。（④の導出）
$$I_E=-\alpha_rI_C+I_{E0}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)\simeq I_{E0}e^{eV_{EB}/kT} -④$$$$I_{E0}=\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}{a_{22}}=(1-\alpha\alpha_r)a_{11} -⑤$$
一方、②は以下のように書き換えられます。尚、右辺は $\alpha\simeq1$ および $-eV_{CB}\gg kT$ と置いています。これよりコレクタ電流 $I_C$ は、$I_E$ に影響を受け、$V_{EB}$ には依存しないことが分かります。（⑥の導出）
$$I_C=-\alpha I_E+I_{C0}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)\simeq -\alpha I_E-I_{C0} -⑥$$$$I_{C0}=\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}{a_{11}}=(1-\alpha\alpha_r)a_{22} -⑦$$
④を導く
①を以下のように書き換え、⑤②と $\alpha_r$ を使い、
$$I_E=\Big(\frac{a_{12}^2}{a_{22}}+\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}{a_{22}}\Big)\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+a_{12}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)$$$$=\frac{a_{12}}{a_{22}}\Big[a_{21}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+a_{22}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)\Big]+I_{E0}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)$$$$=-\alpha_rI_C+I_{E0}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)$$
$\alpha_r\ll1$ と $e^{eV_{EB}/kT}\gg1$ より④が得られます。
⑥を導く
②を以下のように書き換え、⑦①と $\alpha$ を使い、
$$I_C=a_{21}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+\Big(\frac{a_{12}^2}{a_{11}}+\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}{a_{11}}\Big)\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)$$$$=\frac{a_{21}}{a_{11}}\Big[a_{11}\Big(e^{eV_{EB}/kT}-1\Big)+a_{12}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)\Big]+I_{C0}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)$$$$=-\alpha I_E+I_{C0}\Big(e^{eV_{CB}/kT}-1\Big)$$
$\alpha\simeq1$ と $e^{eV_{CB}/kT}\ll1$ より⑥が得られます。
電流増幅率
PNP型トランジスタの１次元モデルで電流増幅率を求めます。エミッタとベースの接合面 $x=0$ として、ベースとコレクタの接合面を $x=W$ とします。
エミッタからベースに注入された正孔の密度を $p_B(x)$ 、ベースからエミッタに注入される電子の密度を $n_E(x)$ とします。$p_{B0}$ と $n_{E0}$ は熱平衡状態でのそれぞれの密度です。
$$p_B(x)=p_{B0}\Big(1+A_1e^{-x/L_B}+A_2e^{x/L_B}\Big) -⑧$$$$n_E(x)=n_{E0}\Big(1+A_3e^{x/L_E}\Big) (x\lt 0) -⑨$$
ここで $x=0$ と $x=W$ での境界条件は以下のように設定します。
$$p_B(0)=p_{B0}e^{V_{EB}/kT} -⑩$$$$p_B(W)=p_{B0}e^{V_{CB}/kT} -⑪$$$$n_E(0)=n_{E0}e^{V_{EB}/kT} -⑫$$
$x=0$ でベースに注入される正孔の電流密度を $J_p$ 、拡散係数を $D_p$ 、エミッタに注入される電子の電流密度を $J_n$ 、拡散係数を $D_n$ とすると、（⑬の導出）（⑭の導出）
$$J_p(0)=-eD_p\frac{dp_B(x)}{dx}\Big|_{x=0}$$$$=\frac{eD_pp_{B0}}{L_B}\cdot\frac{1-e^{V_{CB}/kT}+\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)\cosh{(W/L_B)}}{\sinh{(W/L_B)}} -⑬$$$$J_n(0)=eD_n\frac{dn_E(x)}{dx}\Big|_{x=0}=\frac{eD_nn_{E0}}{L_E}\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big) -⑭$$
エミッタ電流 $I_E$ は $J_p$ と $J_n$ の和で表されるため、
$$I_E=A\Big(J_p(0)+J_n(0)\Big) -⑮$$
これより電流増幅率 $\alpha$ は以下で求められます。最後は $W\ll L_B$ として、$\cosh{(W/L_B)}\simeq1$ 、$\sinh{(W/L_B)}\simeq W/L_B$ より求められます。（⑯の導出）
$$\alpha=-\frac{a_{21}}{a_{11}}=\Big(\cosh{\frac{W}{L_B}}+\frac{D_nn_{E0}L_B}{D_pp_{B0}L_E}\sinh{\frac{W}{L_B}}\Big)^{-1} -⑯$$$$\simeq\Big(1+\frac{D_nn_{E0}W}{D_pp_{B0}L_E}\Big)^{-1}$$
これより電流増幅率を大きくするには、ベース幅 $W$ を小さくするか、Ｐ型エミッタの不純物密度（正孔）を大きくする（ $n_{E0}$ を小さくする）とよいことが分かります。
⑬を導く
⑧に⑩と⑪を適用すると、
$$p_B(0)=p_{B0}\Big(1+A_1+A_2\Big)=p_{B0}e^{V_{EB}/kT}$$$$p_B(W)=p_{B0}\Big(1+A_1e^{-W/L_B}+A_2e^{W/L_B}\Big)=p_{B0}e^{V_{CB}/kT}$$
これらより $A_1$ と $A_2$ を求めると、
$$A_1=\frac{1-e^{W/L_B}-e^{V_{CB}/kT}+e^{V_{EB}/kT}e^{W/L_B}}{e^{W/L_B}-e^{-W/L_B}}$$$$A_2=\frac{e^{-W/L_B}-1+e^{V_{CB}/kT}-e^{V_{EB}/kT}e^{-W/L_B}}{e^{W/L_B}-e^{-W/L_B}}$$
⑬の左辺に⑧を代入し、$A_1$ と $A_2$ を使うと⑬が得られます。
$$J_p(0)=-eD_p\frac{dp_B(x)}{dx}\Big|_{x=0}=\frac{eD_pp_{B0}}{L_B}(A_1-A_2)$$$$=\frac{eD_pp_{B0}}{L_B}\cdot\frac{2-2e^{V_{CB}/kT}+\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)\Big(e^{W/L_B}+e^{-W/L_B}\Big)}{e^{W/L_B}-e^{-W/L_B}}$$$$=\frac{eD_pp_{B0}}{L_B}\cdot\frac{1-e^{V_{CB}/kT}+\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)\cosh{(W/L_B)}}{\sinh{(W/L_B)}}$$
⑭を導く
⑨に⑫を適用すると、
$$n_E(0)=n_{E0}\Big(1+A_3\Big)=n_{E0}e^{V_{EB}/kT}$$$$A_3=\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)$$
⑭の左辺に⑨を代入し、$A_3$ を使うと⑭が得られます。
$$J_n(0)=eD_n\frac{dn_E(x)}{dx}\Big|_{x=0}=\frac{eD_nn_{E0}}{L_B}A_3$$$$=\frac{eD_nn_{E0}}{L_B}\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)$$
⑯を導く
⑬と⑭を⑮に代入すると、
$$I_E=A\Big(J_p(0)+J_n(0)\Big)$$$$=Ae\Big[\frac{D_pp_{B0}}{L_B}\cdot\frac{1-e^{V_{CB}/kT}+\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)\cosh{(W/L_B)}}{\sinh{(W/L_B)}}$$$$+\frac{D_nn_{E0}}{L_E}\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)\Big]$$$$=Ae\Big[\Big(\frac{D_pp_{B0}}{L_B\tanh{(W/L_B)}}+\frac{D_nn_{E0}}{L_E}\Big)\Big(e^{V_{EB}/kT}-1\Big)$$$$-\frac{D_pp_{B0}}{L_B\sinh{(W/L_B)}}\Big(e^{V_{CB}/kT}-1\Big)\Big]$$
これと①②を比べると、$a_{11}$ と $a_{12}$ は以下で表されます。
$$a_{11}=Ae\Big(\frac{D_pp_{B0}}{L_B\tan{(W/L_B)}}+\frac{D_nn_{E0}}{L_E}\Big)$$$$a_{12}=a_{21}=-\frac{AeD_pp_{B0}}{L_B\sinh{(W/L_B)}}$$
これより電流増幅率 $\alpha$ は以下で求められます。
$$\alpha=-\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{D_pp_{B0}}{L_B\sinh{(W/L_B)}}\Big(\frac{D_pp_{B0}}{L_B\tan{(W/L_B)}}+\frac{D_nn_{E0}}{L_E}\Big)^{-1}$$$$=\Big(\cosh{\frac{W}{L_B}}+\frac{L_BD_nn_{E0}}{L_ED_pp_{B0}}\sinh{\frac{W}{L_B}}\Big)^{-1}$$
