ナビエ・ストークス方程式とは
ナビエ・ストークス方程式とは、流体の運動を記述する２階非線型偏微分方程式で、ニュートン力学における第２法則（運動量保存則）に相当します。ナビエ・ストークス方程式は、以下で表されます。
$$\rho\frac{d{\bf v}}{dt}=-\mathrm{grad}\,p+\eta\Delta{\bf v}+\Big(\zeta+\frac{\eta}{3}\Big)\mathrm{grad}(\mathrm{div}\,{\bf v})+\rho{\bf K}$$
右辺の第１項は静水圧、第４項は外力（通常は重力）を表します。また、第２項と第３項は粘性による項で、$\eta$ はせん断運動による粘性率（第１粘性率）、$\zeta$ は体積変化に対する粘性率（第２粘性率）を表します。
尚、デカルト座標系（ナブラ記号）で表すと以下になります。
$$\rho\frac{d{\bf v}}{dt}=-\nabla p+\eta\Delta{\bf v}+\Big(\zeta+\frac{\eta}{3}\Big)\nabla(\nabla\cdot{\bf v})+\rho{\bf K}$$
非圧縮流体の方程式
非圧縮流体（$\mathrm{div}\,{\bf v}=0$）の方程式は、以下で表されます。
$$\rho\frac{d{\bf v}}{dt}=-\mathrm{grad}\,p+\eta\Delta{\bf v}+\rho{\bf K}$$
完全流体の方程式
完全流体（$\zeta=\eta=0$）の方程式は、以下で表されます。これは、オイラーの運動方程式とも呼ばれます。
$$\rho\frac{d{\bf v}}{dt}=-\mathrm{grad}\,p+\rho{\bf K}$$
ナビエ・ストークス方程式を導く
流体の運動方程式は以下で表されますが、
$$\rho\frac{dv_i}{dt}=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i -①$$
この $p_{ij}$ を静水圧の項（第１項：$p$）と粘性による項（第２項：$\sigma_{ij}$）に分けて考えます。
$$p_{ij}=-p\delta_{ij}+\sigma_{ij} -②$$
一方、弾性体のフックの法則の一般形は、以下のように力（応力テンソル：$p_{ij}$）と微小変位（歪みテンソル：$q_{ij}$）との関係を表します。
$$p_{ij}=\lambda q_{ll}\delta_{ij}+2\mu q_{ij}$$$$q_{ij}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Big)$$
弾性体の場合は、素片に働く力は変位（$u_i$）の差によりますが、それに対し流体の場合は、流体素片に働く力は流速（$v_i$）の差によります。これより $u_i\to v_i$（$v_i$ は速度）で置き換え、②の第２項を以下で仮定します。
$$\sigma_{ij}=\lambda’\frac{\partial v_k}{\partial x_k}\delta_{ij}+\mu’\Big(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Big)$$
さらに定数を以下で書き換えると、
$$\eta=\mu’$$$$\zeta=\lambda’+\frac{2}{3}\mu’$$
②は以下で表されます。
$$p_{ij}=-p\delta_{ij}+\Big(\zeta-\frac{2}{3}\eta\Big)\frac{\partial v_k}{\partial x_k}\delta_{ij}+\eta\Big(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Big)$$
これを①に代入すると、
$$\rho\frac{dv_i}{dt}=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(-p\delta_{ij}+\Big(\zeta-\frac{2}{3}\eta\Big)\frac{\partial v_k}{\partial x_k}\delta_{ij}+\eta\Big(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Big)\right)+\rho K_i$$
$$=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\eta\frac{\partial^2v_i}{\partial x_j^2}+\Big(\zeta+\frac{1}{\eta}\Big)\frac{\partial}{\partial x_i}\Big(\frac{\partial v_j}{\partial x_j}\Big)+\rho K_i$$
このようにナビエ・ストークス方程式が導かれます。
