ネーターの定理とは
ネーターの定理とは、ある系に対称性がある場合は、それに対応した保存則があることを示した定理です。例えば、並進対称がある場合は、エネルギーと運動量の保存則が成り立ち、回転対称性がある場合は、角運動量の保存則が成り立ちます。
微小変換と不変量
座標の微小変換を以下で定義します。$\epsilon_{ij}$ は反対称テンソル（$\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ji}$）で、第２項は回転操作、第３項は並進操作を表します。
$$x_i \to x_i’=x_i+\delta x_i=x_i+\epsilon_{ij}x_j+\delta_i －①$$
これによる場の変換を以下であると仮定します。$S_{rs}^{ij}$ は $i$ 、$j$ に関して反対称になります。
$$\phi_r(x) \to \phi_r'(x’)\equiv\phi_r(x)+\delta_T\phi_r(x)$$$$=\phi_r(x)+\frac{1}{2}\epsilon_{ij}S_{rs}^{ij}\phi_s(x) －②$$
これらの変換に対する系の不変性とは、ラグラジアン密度の形が変わらないということを意味します。
$${\mathcal L}(\phi_r'(x’),\phi_{r,i}'(x’))={\mathcal L}(\phi_r(x),\phi_{r,i}(x)) －③$$
連続の方程式
４元ベクトル（ネーターカレント）を以下で定義します。
$$f^i\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial \phi_{r,i}}\delta_T\phi_r-T^{ij}\delta x_j$$
尚、$T^{ij}$ は、エネルギー運動量テンソルと呼ばれ、以下で定義されます。
$$T^{ij}\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j}-{\mathcal L}\delta^{ij}$$
このとき、連続の方程式は以下で表されます。
$$\frac{\partial f^i}{\partial x^i}=0 -④$$
４元ベクトルを $(f^0,f^1,f^2,f^3)=(c\rho,{\bf f})$ と書き換えると以下の式が得られます。
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot{\bf f}$$
導出
②の $\delta_T\phi_r(x)$ を場の変化と座標変換を分けて書き直すと、
$$\delta_T\phi_r(x)=[\phi_r'(x’)-\phi_r(x’)]+[\phi_r(x’)-\phi_r(x)]$$$$=\delta\phi_r(x’)+\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j}\delta x_j$$
ここで、右辺第１項で２次の微小量を無視すると、$\delta\phi_r(x’)\cong\delta\phi_r(x)$ より、
$$\delta_T\phi_r(x)=\delta\phi_r(x)+\frac{\partial\phi_r}{\partial x^j}\delta x^j －⑤$$
ラグラジアン密度③についても同様に考えると、
$$0={\mathcal L}(\phi_r'(x’),\phi_{r,i}'(x’))-{\mathcal L}(\phi_r(x),\phi_{r,i}(x))$$$$=\delta{\mathcal L}+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial x^i}\delta x^i$$
この第２項を書き直すと、
$$\delta{\mathcal L}=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$
さらに、左辺を書き直すと、
$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_r}\delta\phi_r+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\delta\phi_{r,i}=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$
この左辺をラグランジュ方程式
$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_r}-\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\Big)=0$$
で書き直すと、
$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\delta\phi_r\Big]=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$
⑤より $\delta\phi_r(x)$ を削除し、整理すると、
$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\Big(\delta_T\phi_r-\frac{\partial\phi_r}{\partial x^j}\delta x^j\Big)+{\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j\Big]=0$$
これにエネルギー運動量テンソルの定義を代入すると、
$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\delta_T\phi_r-T^{ij}\delta x_j\Big)=0$$
４元ベクトルの定義より、連続の方程式④が得られます。
エネルギーと運動量の保存則
エネルギーと運動量の保存則は以下で表されます。
$$\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^i}=0 -⑥$$
ここで、４元運動量を以下で定義すると、
$$cP^i\equiv\int d^3xT^{0i}$$
次の４つの保存量が得られます。
$$cP^0=\int d^3x\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}_r}\dot{\phi}_r(x)-{\mathcal L}\Big)=\int d^3x{\mathcal H}=H$$
$$P^j=\int d^3x\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}_r}\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j} , j=1,2,3$$
導出
並進操作（$\epsilon_{ij}=0$）の場合、①より $\delta x_i=\delta_i$、②より $\delta_T\phi_r=0$ から、４元ベクトル量は定義式より、
$$f^i=-T^{ij}\delta_j$$
となるため、これを連続の方程式③に代入すると、エネルギーと運動量の保存則⑥を得ることができます。
角運動量の保存則
場の角運動量演算子を、
$$M^{ijk}\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)+(T^{ik}x^j-T^{ij}x^k)$$
で定義すると、角運動量の保存則は以下で表されます。
$$\frac{\partial M^{ijk}}{\partial x^i}=0 ₋⑦$$
導出
回転操作（$\delta_j=0$）の場合、①より $\delta x_j=\epsilon_{jk}x_k$、②より $\delta_T\phi_r=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)$ から、４元ベクトル量は定義式は、
$$f^i=\frac{1}{2}\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\epsilon_{jk}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)-T^{ij}\epsilon_{jk}x^k$$
ここで $\epsilon_{jk}$ の反対称性を利用すると、右辺第２項は次のように書き替えられるため、
$$-T^{ij}\epsilon_{jk}x^k=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}(T^{ik}x^j-T^{ij}x^k)$$
従って、４元ベクトル量は、
$$f^i=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}M^{ijk}$$
となるため、角運動量の保存則⑦を得ることができます。
