ポアソンの状態方程式とは
ポアソンの状態方程式は、理想気体を断熱条件の下で、準静的に変化させた場合の圧力 $p$ と体積 $V$ の関係を表します。
$$pV^\gamma=\mathrm{const} -①$$
ここで、定数 $\gamma$ は定圧比熱 $C_p$ と定積比熱 $C_V$ と比で表されます。
$$\gamma\equiv\frac{C_p}{C_V}$$$$C_V\equiv\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_V$$$$C_p\equiv\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_p$$
尚、特に粒子密度 $\rho$ と体積の積が一定（粒子数が一定）であると仮定すると、ポアソンの状態方程式は下記のように書くこともできます。$\rho V=\mathrm{const}$ より、
$$p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$$
以下、ポアソンの状態方程式を導くため、次の理想気体の状態方程式と、
$$pV=RT -②$$
熱力学の第１法則を前提とします。
$$dU=\delta Q-pdV -③$$
ポアソンの状態方程式を導く
比熱の定義式に③を代入すると、
$$C_V=\Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_V$$$$C_p=\Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_V+p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p=C_V+p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p$$
従って、これと②より、
$$C_p-C_V=p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p=R -(1)$$
一方、$Q$ の微分をとり、③を使うと、
$$\delta Q=\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_VdT+\Big(\frac{\delta Q}{\partial V}\Big)_TdV$$$$=C_VdT+pdV$$
ここで断熱変化 $\delta Q=0$ であるから、
$$C_VdT+pdV=0 -(2)$$
次に、②の微小変化をとり、(2) と (1) を順次利用すると、
$$pdV+Vdp=RdT=-\frac{pR}{C_V}dV$$$$=\Big(1-\frac{C_p}{C_V}\Big)pdV$$$$\frac{dp}{p}+\frac{C_p}{C_V}\frac{dV}{V}=0$$
これを積分すると①が得られます。
$$\ln{p}+\frac{C_p}{C_V}\ln{V}=\ln{\Big(pV^{C_p/C_V}\Big)}=\mathrm{const}$$
