直交曲線座標
直交曲線座標とは、局所的には各基底ベクトルが互いに直交している、曲がった空間の座標系です。以下は、３次元空間の場合を扱います。
直交曲線座標（$q_1,q_2,q_3$）と直交平面座標（$x_1,x_2,x_3$）の座標変換は、一般に以下で表されます。
$$dx_i=\sum_{j=1}^3\frac{\partial x_i}{\partial q_j}dq_j$$
このとき、座標変換を行っても”長さ” $ds$ は不変であるため、以下が成り立ちます。尚、和は全て１～３で行うものとします。
$$ds^2=\sum_idx_i^2=\sum_i\sum_{j,k}\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}dq_jdq_k$$
計量の定義
座標系の計量（メトリック）を導入します。
$$h_{jk}\equiv\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$$
ここで、直交条件 $h_{jk}=0$（$j\ne k$）を導入し、計量の対角成分を $\sqrt{h_{jj}}\to h_j$ と置き換えると、
$$h_j^2=\sum_i\Big(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\Big)^2 －①$$
さらに、座標変換は以下のように書くことができ、
$$dx_i=h_idq_i -②$$
微小体積は以下で表すことができます。
$$dx_1dx_2dx_3=h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3$$
微分の公式
勾配（$\mathrm{grad}$）
スカラー $\phi$ の勾配は以下で表されます。
$$\mathrm{grad}\phi=\Big(\frac{\partial\phi}{h_1\partial q_1},\frac{\partial\phi}{h_2\partial q_2},\frac{\partial\phi}{h_3\partial q_3}\Big)$$
導出
スカラー $\phi$ の微小変位をとり、途中で②を使っています。
$$\delta\phi=\phi(q_1+\delta q_1,q_2+\delta q_2,q_3+\delta q_3)-\phi(q_1,q_2,q_3)$$
$$=\frac{\partial\phi}{\partial q_1}\delta q_1+\frac{\partial\phi}{\partial q_2}\delta q_2+\frac{\partial\phi}{\partial q_3}\delta q_3$$
$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial\phi}{\partial q_1}\delta x_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial\phi}{\partial q_2}\delta x_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial\phi}{\partial q_3}\delta x_3$$$$\equiv(\mathrm{grad}\phi)\cdot d{\bf r}$$
分散（$\mathrm{div}$）
ベクトルの分散は以下で表されます。
$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac{\partial(h_2h_3A_1)}{\partial q_1}+\frac{\partial(h_3h_1A_2)}{\partial q_2}+\frac{\partial(h_1h_2A_3)}{\partial q_3}\right)$$
導出
ガウスの発散定理より、
$$\int_S{\bf A}\cdot d{\bf S}=\int_V\mathrm{div}{\bf A}dV -(1)$$
(1)の左辺の被積分部を微小立方体の面上で計算すると、
$${\bf A}\cdot d{\bf S}=(A_1dydz)_{q1+\delta}-(A_1dydz)_{q1}+(A_2dzdx)_{q2+\delta}$$$$-(A_2dzdx)_{q1}+(A_3dxdy)_{q3+\delta}-(A_3dxdy)_{q1}$$
この右辺の第１項と第２項について変形すると、
$$(A_1dydz)_{q1+\delta}-(A_1dydz)_{q1}=(A_1h_2h_3dq_2dq_3)_{q1+\delta}-(A_1h_2h_3dq_2dq_3)_{q1}$$$$=\Big((A_1h_2h_3)_{q1+\delta}-(A_1h_2h_3)_{q1}\Big)dq_2dq_3$$$$=\frac{\partial(A_1h_2h_3)}{\partial q_1}dq_1dq_2dq_3$$
第３項と第４項、第５項と第６項も同様に計算できます。
$$(A_2dzdx)_{q2+\delta}-(A_2dzdx)_{q2}=\frac{\partial(A_2h_3h_1)}{\partial q_2}dq_1dq_2dq_3$$$$(A_3dxdy)_{q3+\delta}-(A_3dxdy)_{q3}=\frac{\partial(A_3h_1h_2)}{\partial q_3}dq_1dq_2dq_3$$
一方、(1)の右辺の被積分部は、
$$\mathrm{div}{\bf A}dV=\mathrm{div}{\bf A}dxdydz=\mathrm{div}{\bf A}h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3$$
これらより、ベクトルの分散が導かれます。
回転（$\mathrm{rot}$）
ベクトルの回転は以下で表されます。
$$(\mathrm{rot}{\bf A})_1=\frac{1}{h_2h_3}\left(\frac{\partial(h_3A_3)}{\partial q_2}-\frac{\partial(h_2A_2)}{\partial q_3}\right)$$$$(\mathrm{rot}{\bf A})_2=\frac{1}{h_3h_1}\left(\frac{\partial(h_1A_1)}{\partial q_3}-\frac{\partial(h_3A_3)}{\partial q_1}\right)$$$$(\mathrm{rot}{\bf A})_3=\frac{1}{h_1h_2}\left(\frac{\partial(h_2A_2)}{\partial q_1}-\frac{\partial(h_1A_1)}{\partial q_2}\right)$$
導出
ストークスの定理より、
$$\oint{\bf A}\cdot d{\bf s}=\int_S(\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S} -(2)$$
(2)の左辺を $q_3$ 面に平行な閉領域で積分すると、
$$({\bf A}\cdot d{\bf s})_3=(A_1dx)_{q1,q2}+(A_2dy)_{q1+\delta,q2}-(A_1dx)_{q1,q2+\delta}-(A_2dy)_{q1,q2}$$$$=(A_1h_1dq_1)_{q1,q2}+(A_2h_2dq_2)_{q1+\delta,q2}-(A_1h_1dq_1)_{q1,q2+\delta}-(A_2h_2dq_2)_{q1,q2}$$$$=\frac{\partial(A_2h_2)}{\partial q_1}dq_1dq_2-\frac{\partial(A_1h_1)}{\partial q_2}dq_2dq_1$$
$q_1$ 面に平行な閉領域、 $q_2$ 面に平行な閉領域についても同様に計算すると、
$$({\bf A}\cdot d{\bf s})_1=\frac{\partial(A_3h_3)}{\partial q_2}dq_2dq_3-\frac{\partial(A_2h_2)}{\partial q_3}dq_3dq_2$$$$({\bf A}\cdot d{\bf s})_2=\frac{\partial(A_1h_1)}{\partial q_3}dq_3dq_1-\frac{\partial(A_3h_3)}{\partial q_1}dq_1dq_3$$
一方、(2)の右辺は、
$$\Big((\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S}\Big)_1=(\mathrm{rot}{\bf A})_1dxdy=(\mathrm{rot}{\bf A})_1h_2h_3dq_2dq_3$$$$\Big((\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S}\Big)_2=(\mathrm{rot}{\bf A})_2dxdy=(\mathrm{rot}{\bf A})_2h_3h_1dq_3dq_1$$$$\Big((\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S}\Big)_3=(\mathrm{rot}{\bf A})_3dxdy=(\mathrm{rot}{\bf A})_3h_1h_2dq_1dq_2$$
これらより、ベクトルの回転が導かれます。
ラプラシアン（$\Delta$）
ラプラシアン（$\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$）は以下で表されます。
$$\Delta=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}\Big(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}\Big)+\frac{\partial}{\partial q_2}\Big(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}\Big)+
\frac{\partial}{\partial q_3}\Big(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\Big)\right]$$
