演算子の交換関係
点粒子の場合の独立な力学変数は以下のように選ばれるため、
$$\Big(x^I,x_0^-,p^I,p^+\Big)$$
これからの類推で、ハイゼンベルグ演算子の組をそれぞれ以下のように選びます。尚、添え字の $I$ は横方向の成分を表します。
$$\Big(X^I(\tau,\sigma),x_0^-(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma),p^+(\tau)\Big)$$
また、弦座標 $X^I(\tau,\sigma)$ と運動量密度 $P^{\tau I}(\tau,\sigma)$ の関係を表す弦の運動方程式は以下になります。
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu -①$$$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}X^{\mu’} -②$$
弦の異なる点は互いに干渉しないとし、以下のような交換関係を仮定します。
$$[X^I(\tau,\sigma),P^{\tau J}(\tau,\sigma’)]\equiv i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’) -③$$$$[x_0^-(\tau),p^+(\tau)]=-i$$
$$\eta^{IJ}=
\left(\begin{array}{ccc} -1 & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \end{array}\right)$$
それ以外の交換関係は基本的に０になります。
$$[X^I(\sigma),X^J(\sigma’)]=[P^{\tau I}(\sigma),P^{\tau J}(\sigma’)]=0$$$$[x_0^-(\tau),X^I(\tau,\sigma)]=[x_0^-(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma)]=0$$$$[p^+(\tau),X^I(\tau,\sigma)]=[p^+(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma)]=0$$
④左辺の $X^I$ と $X^J$ を $\sigma$ と $\sigma’$ で微分し、①を使うと以下が得られます。
$$[X^{I’}(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]=[\dot{X}^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]=0$$
このとき、以下の交換関係が成り立ちます。これらは開弦の場合と同様に導かれます。（導出）
$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J\pm X^{J’})(\tau,\sigma’)]=\pm4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’) -④$$$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J\mp X^{J’})(\tau,\sigma’)]=0 -⑤$$
振動モードの交換関係
弦のモード展開は以下で表されます。
$$X^I(\tau,\sigma)=x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^I}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma} -⑥$$$$\alpha_0^I\equiv\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}p^I -⑦$$
光円錐座標の場合は、$\sigma\in[0,2\pi]$ で以下の関係が成り立ちます。
$$(\dot{X}^I+X^{I’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\bar{\alpha}_n^Ie^{-in(\tau+\sigma)} -⑧$$$$(\dot{X}^I-X^{I’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^Ie^{-in(\tau-\sigma)} -⑧$$
このとき、振動モードの交換関係は以下になります。（⑨の導出）（⑩の導出）（⑪の導出）（⑫の導出）
$$[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -⑨$$$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -⑩$$$$[\alpha_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=0 -⑪$$$$[x_0^I,\alpha_n^J]=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}i\eta^{IJ}\delta_{n,0} -⑫$$
また、$n=0$ の場合、⑦により⑫は次のように書き替えられます。
$$[x_0^I,p^J]=i\eta^{IJ} -⑬$$
エルミート性
量子力学と同様に、座標と運動量の演算子はエルミート性を持ちます。
$$(x_0^I)^\dagger=x_0^I$$$$(p^I)^\dagger=p^I$$
また、振動モードの定義より、以下の関係が成り立ちます。
$$(\alpha_n^I)^\dagger=\alpha_{-n}^I$$
⑨を導く
④に⑧の上の式を代入すると、
$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau+\sigma)}e^{-in'(\tau+\sigma’)}[\bar{\alpha}_{m’}^I,\bar{\alpha}_{n’}^J]=2\pi i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
両辺に次の積分を行うと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}$$
左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は０になるので、
$$(\mathrm{左辺})=e^{-i(m+n)\tau}[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_n^J] -(3)$$
右辺については、以下に留意すると、
$$\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=e^{in\sigma}$$
以下になります。
$$(\mathrm{右辺})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}e^{in\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{i(m+n)\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -(4)$$
(3)と(4)より、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}$$
$n=-m$ の場合は、
$$[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_{-m}^J]=m\eta^{IJ}$$
右辺は $n\ne-m$ のは場合は、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=0$$
となるため、いずれも⑨が成り立つことが分かります。
⑩を導く
④に⑧の下の式を代入すると、
$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau-\sigma)}e^{-in'(\tau-\sigma’)}[\alpha_{m’}^I,\alpha_{n’}^J]=-2\pi i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
両辺に次の積分を行うと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{-im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{-in\sigma’}$$
左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は０になるので、
$$(\mathrm{左辺})=e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J] -(5)$$
右辺については、以下に留意すると、
$$\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{-in\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=e^{-in\sigma}$$
以下になります。
$$(\mathrm{右辺})=-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{-im\sigma}i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}e^{-in\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{-i(m+n)\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -(6)$$
(5)と(6)より、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}$$
$n=-m$ の場合は、
$$[\alpha_m^I,\alpha_{-m}^J]=m\eta^{IJ}$$
右辺は $n\ne-m$ のは場合は、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=0$$
となるため、いずれも⑩が成り立つことが分かります。
⑪を導く
⑤に⑧を代入すると、
$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau-\sigma)}e^{-in'(\tau+\sigma’)}[\alpha_{m’}^I,\bar{\alpha}_{n’}^J]=0$$
左辺に次の積分を行うと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{-im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}$$
左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は０になるので、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=0$$
これより⑪が得られます。
⑫を導く
①を③に代入すると、
$$[X^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’)$$
両辺を $\sigma\in[0,2\pi]$ で積分し、⑧を代入すると、
$$2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\int_0^{2\pi}d\sigma\delta(\sigma-\sigma’)=\int_0^{2\pi}d\sigma[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]$$
左辺の $X^I(\sigma)$ の三角関数の項は消え、右辺のデルタ関数の積分は１になるため、
$$\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau,\dot{X}^J(\sigma’)] -(7)$$
ここで、⑩と⑥より、
$$[\alpha_0^I,\alpha_0^J]=[\alpha_0^I,\alpha_n^J]=0$$$$\dot{X}^J(\sigma’)=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^J+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n’\ne0}\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$
これらを使うと(7)は、
$$\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}i\eta^{IJ}=\frac{1}{\sqrt{2\alpha’}}[x_0^I,\dot{X}^J(\sigma’)]$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’\ne0}[x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’} -(8)$$
これを $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma\cos{n\sigma}$ で積分すると、定数項である左辺と右辺第１項は０になり、右辺第２項は、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma\cos{n\sigma}\cos{n’\sigma}=\frac{1}{2}\delta_{n’n}$$
に留意すると、
$$0=[x_0^I,\alpha_{n}^Je^{-in\tau}+\alpha_{-n}^Je^{in\tau}]$$$$=[x_0^I,\alpha_{n}^J]e^{-in\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n}^J]e^{in\tau}$$
これより、$n\ne0$ の場合、上式が成り立つ条件は以下であるため、⑫を満たすことが分かります。
$$[x_0^I,\alpha_{n}^J]=[x_0^I,\alpha_{-n}^J]=0 -(9)$$
また、$n=0$ の場合は、(8)より、
$$\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’}$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty\Big([x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n’}^J]e^{in’\tau}\Big)\cos{n’\sigma’}$$
右辺の第２項は(9)より０になるため、⑫を満たすことが分かります。
$$\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]$$
消滅演算子と生成演算子
古典変数での振動モードと展開係数の関係（ $n\ge1$ ）
$$\alpha_n^\mu=a_n^\mu\sqrt{n} , \alpha_{-n}^\mu=a_n^{\mu*}\sqrt{n}$$
より、量子論へにおいては、エルミート共役な消滅演算子 $a_n^I$ 、$\bar{a}_n^I$ と生成演算子 $a_n^{I\dagger}$ 、$\bar{a}_n^{I\dagger}$ を以下のように定義します（ $n\ge1$ ）。
$$\alpha_n^I=a_n^I\sqrt{n} , \alpha_{-n}^I=a_n^{I\dagger}\sqrt{n} -⑭$$$$\bar{\alpha}_n^I=\bar{a}_n^I\sqrt{n} , \bar{\alpha}_{-n}^I=\bar{a}_n^{I\dagger}\sqrt{n} -⑭$$
このとき、これは以下の交換関係が成り立ちます。
$$[a_m^I,a_n^J]=[a_m^{I\dagger},a_n^{J\dagger}]=0 -⑮$$$$[\bar{a}_m^I,\bar{a}_n^J]=[\bar{a}_m^{I\dagger},\bar{a}_n^{J\dagger}]=0 -⑯$$
$$[a_m^I,a_n^{J\dagger}]=[\bar{a}_m^I,\bar{a}_n^{J\dagger}]=\delta_{m,n}\eta^{IJ} -⑰$$
⑯⑰を導く
⑨より、
$$[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}=m\eta^{IJ}\delta_{m,-n}$$
従って、
$$[\bar{\alpha}_m^I,\bar{\alpha}_{-n}^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m,n}$$
$m$ と $n$ が異なる符号の場合、右辺は０になり、左辺の演算子は同じ符号となるため、⑯が得られます。
$$[\bar{a}_m^I,\bar{a}_n^J]=0$$
一方、$m$ と $n$ が正の符号の場合は、⑭を代入すると以下になります。
$$[\sqrt{m}a_m^I,\sqrt{n}a_n^{J\dagger}]=m\eta^{IJ}\delta_{m,n}$$
右辺は $m=n$ 以外は０になるため⑰が得られます。
