変分法とは

変分法とは
複数変数を含む場合
複数関数を含む場合
高階微分を含む場合
パラメタを含む場合

変分法とは、汎関数が極値となるための関数を求める手法です。これは、関数を $y (x)$ 、汎関数を $f (x, y, y^{'})$ とすると、汎関数のある領域での積分が停留値を持つ条件として求められます。

$I \equiv \int_{a}^{b} f (x, y, y^{'}) d x - ①$

このとき、 $x = a$ と $x = b$ では $y$ の値を固定し、その間の $x$ に対する $y$ の値を変化させます。 $I$ が停留値を持つための条件 $δ I = 0$ は、以下のオイラーの微分方程式を解くことと同値になります。

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}}) = 0 - ②$

②を導く

①の微小変位を取ると、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y} δ y + \frac{\partial f}{\partial y^{'}} δ y^{'}) d x - (1)$

ここで、 $x$ での $y$ の微小変位を $δ y$ とすると、この微小変位の $x \to x + d x$ での値は、

$δ y (x + d x) = δ y (x) + \frac{d (δ y)}{d x} d x = δ y (x) + d (δ y) - (2)$

一方、 $x + d x$ での $y$ の値は、

$y (x + d x) = y (x) + \frac{d y}{d x} d x = y (x) + d y$

これの微小変位を取ると、

$δ y (x + d x) = δ y (x) + δ (d y) - (3)$

(1)と(2)は等しくあるべきなので、 $d (δ y) = δ (d y)$ となり、これを(1)の第２項に代入すると、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y} δ y + \frac{\partial f}{\partial y^{'}} \frac{d (δ y)}{d x}) d x$

第２項に部分積分を行い、 $x = a$ と $x = b$ で $δ y = 0$ という仮定を使うと、

$δ I = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y} δ y d x + [\frac{\partial f}{\partial y^{'}} δ y]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}}) δ y d x$ $= \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}})] δ y d x$

任意の $δ y$ で $δ I = 0$ となるためには、この被積分関数が０になる必要があるため②が得られます。

複数変数を含む場合

２変数 $x_{1}, x_{2}$ を含む汎関数の場合、

$I \equiv \int_{a}^{b} f (x_{1}, x_{2}, y, y^{(1)}, y^{(2)}) d x_{1} d x_{2}$ $y^{(1)} \equiv \frac{\partial y}{\partial x_{1}}, y^{(2)} \equiv \frac{\partial y}{\partial x_{2}}$

オイラーの微分方程式は以下で表されます。

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial y^{(1)}}) - \frac{\partial}{\partial x_{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{(2)}}) = 0 - ③$

③を導く

$I$ の微小変位を取り、同様に部分積分を行うと、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y} δ y + \frac{\partial f}{\partial y^{(1)}} δ y^{(1)} + \frac{\partial f}{\partial y^{(2)}} δ y^{(2)}) d x_{1} d x_{2}$ $= \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial y^{(1)}}) - \frac{\partial}{\partial x_{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{(2)}})] δ y d x_{1} d x_{2}$

任意の $δ y$ で $δ I = 0$ となるためには、この被積分関数が０になる必要があるため③が得られます。

複数関数を含む場合

２関数 $y_{1}, y_{2}$ を含む汎関数の場合、

$I \equiv \int_{a}^{b} f (x, y_{1}, y_{2}, y_{1}^{'}, y_{2}^{'}) d x$

オイラーの微分方程式は以下で表されます。

$\frac{\partial f}{\partial y_{1}} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y_{1}^{'}}) = 0 - ④$ $\frac{\partial f}{\partial y_{2}} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y_{2}^{'}}) = 0 - ④$

④を導く

$I$ の微小変位を取り、同様に部分積分を行うと、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y_{1}} δ y_{1} + \frac{\partial f}{\partial y_{1}^{'}} δ y_{1}^{'} + \frac{\partial f}{\partial y_{2}} δ y_{2} + \frac{\partial f}{\partial y_{2}^{'}} δ y_{2}^{'}) d x$ $= \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y_{1}} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y_{1}^{'}})] δ y_{1} d x + \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y_{2}} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y_{2}^{'}})] δ y_{2} d x$

任意の $δ y_{1}, δ y_{2}$ で $δ I = 0$ となるためには、それぞれの被積分関数が０になる必要があるため④が得られます。

高階微分を含む場合

２階微分を含む汎関数の場合、

$I \equiv \int_{a}^{b} f (x, y, y^{'}, y^{”}) d x$

オイラーの微分方程式は以下で表されます。

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}}) + \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}}) = 0 - ⑤$

⑤を導く

$I$ の微小変位を取り、同様に部分積分を行うと、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y} δ y + \frac{\partial f}{\partial y^{'}} δ y^{'} + \frac{\partial f}{\partial y^{”}} δ y^{”}) d x$

右辺の第３項の積分については、

$\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y^{”}} δ y^{”} d x = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y^{”}} \frac{d^{2} (δ y)}{d x^{2}} d x$ $= [\frac{\partial f}{\partial y^{”}} \frac{d (δ y)}{d x}]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}}) \frac{d (δ y)}{d x} d x$ $= - [\frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}}) δ y]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}}) δ y d x$ $= \int_{a}^{b} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}}) δ y d x$

従って、

$δ I = \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}}) + \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{\partial f}{\partial y^{”}})] δ y d x$

任意の $δ y$ で $δ I = 0$ となるためには、この被積分関数が０になる必要があるため⑤が得られます。

パラメタを含む場合

パラメタ $α$ を含む汎関数の場合、

$I \equiv \int_{a}^{b} f (x, y, y^{'}, α) d x$

オイラーの微分方程式は以下で表されます。

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}}) = 0 - ⑥$ $\frac{\partial f}{\partial α} = 0 - ⑥$

⑥を導く

$I$ の微小変位を取り、同様に部分積分を行うと、

$δ I = \int_{a}^{b} (\frac{\partial f}{\partial y} δ y + \frac{\partial f}{\partial y^{'}} δ y^{'} + \frac{\partial f}{\partial α} δ α) d x$ $= \int_{a}^{b} [\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial y^{'}})] δ y d x + \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial α} δ α d x$