重力波とは
重力波とは、重力場（時空）の歪み（曲率）が波動として光速で伝播する現象です。計量 $g_{ij}$ は以下のような波動方程式（ダランベール方程式）を満たします。その解は光速で伝搬する波動となり、これが重力波と呼ばれています（①の導出）。
$$g^{kl}\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^k\partial x^l}=0 -①$$
ダランベルシアンを使うと以下のように書き替えられます。
$$\Box g_{ij}=0$$
①の波動方程式は、アインシュタイン方程式
$$R_{ij}=0$$
のニュートン近似で得られる方程式
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0 -②$$
から得ることができます。
①を導く
スカラー場に対するダランベールの方程式 $\Box V=0$ の共変な形は、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2V}{\partial x^k\partial x^l}-\Gamma_{kl}^m\frac{\partial V}{\partial x^m}\Big)=0$$
ここで $V\to x^i$ と置くと、平らな空間の場合、$\Box x^i=0$ を満たすため、第１項は０になります。第２項については、
$$\frac{\partial V}{\partial x^m}=\frac{\partial x^i}{\partial x^m}=g_m^i$$
と置くと、以下のように書き替えることができます。
$$0=g^{kl}\Gamma_{kl}^i=g^{kl}\Gamma_{ikl} -(1)$$$$=\frac{1}{2}g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\Big)$$$$=g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\Big) -(2)$$
これを $x^j$ で微分し、微分について２次の項を省略すると、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2g_{kl}}{\partial x^i\partial x^j}\Big)=0 -(3)$$
$i$ と $j$ 、$k$ と $l$ を交換すると、計量 $g_{kl}$ は対象であるため、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{jl}}{\partial x^k\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2g_{kl}}{\partial x^i\partial x^j}\Big)=0 -(4)$$
②、(3)、(4)の両辺の和を取ると①が得られます。
$$g^{kl}\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}=0$$
重力波のエネルギー
簡単のため一方向に進む重力波を考えると、$g_{ij}$ は $x^0-x^1$ の関数になりますが、これを一般的に１次結合 $c_kx^k$ で表し、$c_k$ を
$$g^{ij}c_ic_j=c_ic^i=0 -③$$
となるような定数とします。そして $g_{ij}$ の導関数 $u_{ij}$ を以下で定義します。
$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial(c_lx^l)}\frac{\partial(c_lx^l)}{\partial x^k}\equiv u_{ij}c_k -④$$$$u\equiv u_i^i$$
このとき、重力場のエネルギーテンソル（擬テンソル）
$$16\pi T_i^j\sqrt{-g}=\Big(\Gamma_{kl}^j-g_l^j\Gamma_{km}^m\Big)\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(g^{kl}\sqrt{-g}\Big)-g_i^jL\sqrt{-g} -⑤$$$$L\equiv g^{ij}(\Gamma_{ij}^k\Gamma_{kl}^l-\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k)$$
の第３項と第２項は以下のように０になるため（⑥の導出）（⑦の導出）、
$$L=0 -⑥$$$$\Gamma_{km}^m\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(g^{kl}\sqrt{-g}\Big)=0 -⑦$$
⑤は第１項が残り、以下が得られます（⑧の導出）。
$$16\pi T_i^j=\frac{1}{2}\Big(u_{kl}u^{kl}-\frac{1}{2}u^2\Big)c_ic^j -⑧$$
⑥を導く
(2)に④を代入すると、
$$g^{kl}\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}=g^{kl}\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}$$
$$g^{kl}u_{ik}c_l=\frac{1}{2}g^{kl}u_{kl}c_i=\frac{1}{2}u_k^kc_i=\frac{1}{2}uc_i$$$$u_i^lc_l=\frac{1}{2}uc_i -(5)$$
クリストッフェル記号を④を使って書き換えると、
$$\Gamma_{ijk}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\Big)$$$$=\frac{1}{2}(u_{ij}c_k+u_{ik}c_j-u_{jk}c_i)$$
添え字 $i$ を上げると、
$$\Gamma_{jk}^i=\frac{1}{2}(u_j^ic_k+u_k^ic_j-u_{jk}c^i) -(6)$$
$L$ の第１項は(1)より０になり、第２項に(6)を代入すると、
$$L=-g^{ij}\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k$$$$=-\frac{1}{4}g^{ij}(u_i^lc_k+u_k^lc_i-u_{ik}c^l)(u_j^kc_l+u_l^kc_j-u_{jl}c^k)$$
ここで、例えば、括弧の中の１項目どうしの積について、(5)と③を利用すると、
$$-\frac{1}{4}g^{ij}u_i^lc_ku_j^kc_l=-\frac{u^2}{16}g^{ij}c_ic_j=0$$
他の項も同様に計算すると、全て０になるので⑥が得られます。
$$L=0 \to⑥$$
⑦を導く
任意のベクトル $A_i$ について、
$$A_i=g_{ij}g^{jk}A_k=g_i^kA_k$$
より、$g_i^i=1$ 、$g_i^k(i\ne k)=0$ であるため、
$$\frac{\partial g^{im}}{\partial x^k}g_{mj}+g^{im}\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\frac{\partial}{\partial x^k}(g^{im}g_{mj})=\frac{\partial}{\partial x^k}(g^i_j)=0$$
左辺に $g^{lj}$ を掛けると、
$$-g^{im}\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}g^{lj}=\frac{\partial g^{im}}{\partial x^k}g_{mj}g^{lj}=\frac{\partial g^{il}}{\partial x^k}$$
この左辺に④を代入すると、
$$-u^{il}c_k=\frac{\partial g^{il}}{\partial x^k} -(7)$$
計量の行列式 $g$ の微分は、各要素 $g_{il}$ を微分して余因子 $gg^{il}$ を掛けることであるので、
$$\frac{\partial g}{\partial x^j}=gg^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} -(8)$$
これより、
$$\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x^j}=\frac{\sqrt{-g}}{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}=\frac{\sqrt{-g}}{2}uc_j -(9)$$
また、クリストッフェル記号の定義より、
$$\Gamma_{im}^m=g^{mn}\Gamma_{nim}=\frac{1}{2}g^{mn}\Big(\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^m}+\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{im}}{\partial x^n}\Big)$$
右辺の第１項と第３項は打ち消し、第２項に(8)と(9)を使うと、
$$\Gamma_{im}^m=\frac{1}{2}g^{mn}\frac{\partial g_{nm}}{\partial x^i}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^i}$$$$=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x^i}=\frac{u}{2}c_i -(10)$$
(7)、(9)、(10)より、
$$\Gamma_{im}^m\frac{\partial}{\partial x^j}(g^{il}\sqrt{-g})=\Gamma_{im}^m\Big(\frac{\partial g^{il}}{\partial x^j}\sqrt{-g}+g^{il}\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x^j}\Big)$$$$=-\frac{u}{2}c_i\Big(u^{il}-\frac{u}{2}g^{il}\Big)c_j\sqrt{-g}$$$$=-\frac{u}{2}\Big(g^{nl}u_n^ic_i-\frac{u}{2}g^{nl}c_n\Big)c_j\sqrt{-g}$$$$=-\frac{u}{2}g^{nl}\Big(u_n^ic_i-\frac{u}{2}c_n\Big)c_j\sqrt{-g}=0 \to⑦$$
括弧の中は(5)より０になるのため、⑦が得られることが分かります。
⑧を導く
⑤の第１項については、(7)と(9)を使うと、
$$16\pi T_i^j\sqrt{-g}=\Gamma_{kl}^j\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(g^{kl}\sqrt{-g}\Big)$$$$=\Gamma_{kl}^j\Big(\frac{\partial g^{kl}}{\partial x^i}\sqrt{-g}+g^{kl}\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x^i}\Big)$$$$=-\Gamma_{kl}^j\Big(u^{kl}-\frac{u}{2}g^{kl}\Big)c_i\sqrt{-g}$$
両辺より $\sqrt{-g}$ を省略して、(6)を代入すると、
$$16\pi T_i^j=-\frac{1}{2}(u_k^jc_l+u_l^jc_k-u_{kl}c^j)\Big(u^{kl}-\frac{u}{2}g^{kl}\Big)c_i -(11)$$
尚、(11)の最初の括弧内の第１項と第２項について、(5)を使うと０になるため、
$$u_k^jc_l\Big(u^{kl}-\frac{u}{2}g^{kl}\Big)=u_k^jg^{kn}\Big(u_n^lc_l-\frac{u}{2}c_n\Big)=0$$$$u_l^jc_k\Big(u^{kl}-\frac{u}{2}g^{kl}\Big)=u_l^jg^{ln}\Big(u_n^kc_k-\frac{u}{2}c_n\Big)=0$$
(11)は以下になり、⑧が得られることが分かります。
$$16\pi T_i^j=\frac{1}{2}u_{kl}c^j\Big(u^{kl}-\frac{u}{2}g^{kl}\Big)c_i$$$$=\frac{1}{2}\Big(u_{kl}u^{kl}-\frac{u^2}{2}\Big)c_ic^j \to⑧$$
