本記事では、フーリエ級数とフーリエ変換を説明します。
フーリエ級数
フーリエ級数とは、任意の周期関数を直交関数の和として表した無限級数です。
区間「$-\pi\leq\theta\leq\pi$」で定義された関数 $f(\theta)$ が $f(-\pi)=f(\pi)$ を満足し、かつ、関数の微分 $f'(\theta)$ の不連続点が有限個しか存在しない場合、三角関数または指数関数の和で表されることが証明されています。
三角関数表示
関数 $f$ が空間軸で周期 $L$（$-L/2\sim L/2$）を持つ場合、この関数は以下のように展開することができます。ここで、$k_n\equiv2\pi n/L$ です。
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{k_nx}+b_n\sin{k_nx}) －①$$
ここで、各項の係数は以下で定義されます。
$$a_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\cos{k_nx}dx -②$$$$b_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\sin{k_nx}dx -②$$
②を導く
$a_n$ の式に①を代入して、三角関数の直交条件を利用すると、$n=m$ 以外の項が全て０になるため確認することができます。
$$a_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}\Big[\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^\infty(a_m\cos{k_mx}+b_m\sin{k_mx})\Big]\cos{k_nx}dx$$$$=\frac{2}{L}\sum_{m=1}^\infty\Big(\delta_{mn}\frac{L}{2}a_m\Big)\to a_n$$
同様に、$b_n$ の式に①を代入すると、$n=m$ 以外の項が全て０になるため確認することができます。
$$b_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}\Big[\sum_{m=1}^\infty(a_m\cos{k_mx}+b_m\sin{k_mx})\Big]\sin{k_nx}dx$$$$=\frac{2}{L}\sum_{m=1}^\infty\Big(\delta_{mn}\frac{L}{2}b_m\Big)\to b_n$$
指数関数表示
三角関数を使ったフーリエ級数は、指数関数を使ったフーリエ級数に書き換えることができます。
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_nu_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ik_nx} －③$$$$c_n\equiv\int u_n^*(x)f(x)dx=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}f(x)dx －④$$
尚、係数 $c_n$ と $a_n,b_n$ との関係は以下で表されます。
$$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2} , c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$$$$c_0=\frac{a_0}{2}$$
これらを③に代入し、オイラーの関係式（$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$）を使うと①が得られます。
④を導く
④に③を代入して、三角関数の直交条件を利用すると、$n=m$ 以外の項が全て０になるため確認することができます。
$$c_n=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}\Big(\sum_{m=-\infty}^\infty c_me^{ik_mx}\Big)dx$$$$=\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^\infty c_m\delta_{mn}L\to c_n$$
フーリエ変換
フーリエ変換とは、元の関数の周波数成分を変数とした関数への変換です。フーリエ級数の係数を求める式（④）がフーリエ変換となります。
空間成分
空間成分のフーリエ変換は④からの類推により以下で定義されます。
$$F(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}dx －⑤$$
また、逆フーリエ変換は以下により定義されます。
$$f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk$$
時間成分
時間成分のフーリエ変換は、⑤で $(k,x)$ → $(\omega,t)$ と置き換えることで得られます。
$$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega t}d\omega$$
また、逆フーリエ変換は以下により定義されます。
$$f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$
