ガンマ関数とは - 理数の散策路

ガンマ関数
式の導出

ガンマ関数

ガンマ関数とは、階乗 $n!$ の概念を複素数全体に拡張した特殊関数です。ガンマ関数 $Γ (s)$ は、次の式で定義されます。

$Γ (s) \equiv \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 1} d x (s > 0) - ①$

定義より（③の導出）、

$Γ (1) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1 - ②$ $Γ (s) = (s - 1) Γ (s - 1) (s > 1) - ③$

このとき、 $s$ を正の整数 $n$ とすると、②と③より、階乗をガンマ関数で表すことができます。

$Γ (n) = (n - 1)! - ④$

その他、ガンマ関数では以下の関係が成り立ちます（⑤の導出）（⑥の導出）。

$Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π} - ⑤$

$Γ (n + \frac{1}{2}) = \frac{(2 n - 1)!! \sqrt{π}}{2^{n}} - ⑥$

式の導出

③を導く

①について部分積分を行うと、

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 1} d x = [- e^{- x} x^{s - 1}]_{0}^{\infty} + (s - 1) \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 2} d x$

第１項については、 $s > 0$ ならば $x = 0$ で０となり、また、

$lim_{x \to \infty} e^{- x} x^{s - 1} = 0$

より、 $x = \infty$ でも０となるため第２項が残ります。従って、③が得られます。

$(s - 1) \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 2} d x = (s - 1) Γ (s - 1)$

⑤を導く

⑤の左辺について、 $x = ξ^{2}$ 、 $d x = 2 ξ d ξ$ と置くと、

$Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{- 1 / 2} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- ξ^{2}} d ξ - (1)$

一方、 $e^{- (x^{2} + y^{2})}$ の $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ での積分を考えます。これを極座標 $(r, θ)$ に置き換えると、 $d x d y = r d r d θ$ より、

$\int_{0}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{π / 2} d θ \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r$ $= \frac{π}{2} [- \frac{e^{- r^{2}}}{2}]_{0}^{\infty} = \frac{π}{4} - (2)$

(2)の左辺は(1)の２乗になるため、

$\int_{0}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = (\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} = {(\frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}))}^{2}$

(2)の右辺より、⑤が得られることが分かります。

⑥を導く

⑥の左辺より、

$Γ (n + \frac{1}{2}) = (n - \frac{1}{2}) Γ (n - \frac{1}{2})$ $= (n - \frac{1}{2}) (n - \frac{3}{2}) Γ (n - \frac{3}{2}) = \frac{2 n - 1}{2} \frac{2 n - 3}{2} \dots \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2})$ $= \frac{(2 n - 1) (2 n - 3) \dots 3 \cdot 1}{2^{n}} \sqrt{π}$