静的ゲージ
静的ゲージとは、時空間でのパラメタの付け替えにより、ある一定時刻における静的な弦を表します。ゲージを適切に選択することにより、運動方程式を簡単な形で表すことができます。
ｄ次元の時空間 $x^\mu=(x^0,x^1,\cdots,x^d)$ での１次元の弦の場合、この弦の時空間での軌跡は、２次元の面（世界面）として表されます。世界面上の座標は２つのパラメタ（$\tau,\sigma$）で指定することができ、これをパラメタ空間と呼びます。
パラメタ空間の点の時空間への写像を $X^\mu$（弦座標）は以下で表されます。
$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$
静的ゲージでは、$\tau=t$ と置くことで、
| $$X^0(\tau,\sigma)\equiv ct=c\tau$$ |
のように書き換えられるため、弦座標は以下で表されます。
$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(t,\sigma)=(ct,\vec{X}(t,\sigma))$$
このとき、弦座標の微分は以下で表されます。
$$\frac{\partial X^\mu}{\partial t}=\Big(\frac{\partial X^0}{\partial t},\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)=\Big(c,\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big) －①$$$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=\Big(\frac{\partial X^0}{\partial\sigma},\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)=\Big(0,\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big) －②$$
横方向速度
横方向速度は、弦におけるパラメタ付け替え不変な速度です。
$ds$ を弦に沿った無限小区間の長さ（$ds=|d\vec{X}|$）とすると、$\partial\vec{X}/\partial s$ は弦に正接している単位ベクトル（単位接線）になります。
任意のベクトル $\vec{u}$ について、単位ベクトル $\vec{n}$ に直交する成分は $\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}$ であるため、この $\vec{u}$ と $\vec{n}$ に、弦の速度 $\partial\vec{X}/\partial t$ と弦に沿った単位ベクトル $\partial\vec{X}/\partial s$ を当てはめると、垂直成分（横方向速度：$\vec{v}_\perp$）は以下で表されます。
$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$
また、横方向速度の２乗は、$(\partial\vec{X}/\partial s)^2=1$ であるため、以下になります。
$$\vec{v}_\perp^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2$$
静的ゲージでの作用
静的ゲージと横方向速度を適用すると、以下の南部・後藤の作用
$$S=-\frac{T_0}{c}\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)} －③$$
は、以下のように書き換えられます。
$$S=-T_0\int dt\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}} －④$$
ラグラジアンは以下で表されます。
$${\mathcal L}=-T_0\int ds\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}}$$
④を導く
静的ゲージ（$\tau=t$）と①と②より、
$$\dot{X}^\mu X’_\mu=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma} -(1)$$$$\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial t}\Big)^2=-c^2+\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2 -(2)$$$$X^{\nu’} X’_\nu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\Big)^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2 -(3)$$
従って、③の根号の中は、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを留意すると、以下のように書き換えられます。
$$(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)$$
$$=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2$$
$$=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2\Big[\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2+c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]$$
$$=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2(c^2-\vec{v}_\perp^2)$$
これを③に代入すると④が導かれます。
静的ゲージでの運動量
弦の運動量は、(1)～(3)と、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることから、以下で表されます。
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}^\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X^{\mu’}}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right)$$
$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X^{\mu’}-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}^\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right)$$
特に $\mu=0$ の成分は、①②と $\partial X^0/\partial s=0$ より以下で表すことができます。
$$P^{\sigma0}=-\frac{T_0}{c}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)$$$$P^{\tau0}=\frac{T_0}{c}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}$$
