フォーク定理とは - 理数の散策路

フォーク定理とは、無限回の繰り返しゲームにおいて、協力解が均衡として成立するという定理です。この均衡は、市場利率が十分に低く、互いがトリガー戦略を取った場合に現れます。

尚、トリガー戦略とは、相手が「協力」的ならば「協力」するが、相手が「非協力」に転じた場合は、それ以降自分も「非協力」（相手に不利な行動）を取るという戦略です。

繰り返しゲーム

繰り返しゲームとは、同じ戦略形ゲームを何回も繰り返して行うゲームです。但し、各回の後に各プレイヤが取った行動（戦略）は全てのプレイヤに知らされるものとします。

プレイヤ $A$ が行動 $X$ 、プレイヤ $B$ 行動 $Y$ を取る場合の行動の組を $(X, Y)$ 、その場合のプレイヤ $A$ の利得を $A (X, Y)$ 、プレイヤ $B$ の利得を $B (X, Y)$ で表すとします。このときの利得表を以下で表します。

この例は、１回のみのゲームの場合、「 $X$ ：価格維持」、「 $Y$ ：値下げ」と置くと、２つの企業間の価格競争を表し、いわゆる「囚人のジレンマ」のパターンです。

両社が価格維持の行動を取ると両社の利得は共に「４」になりますが、互いの最適反応戦略は値下げであるため、ナッシュ均衡での両社の利得は共に「２」になってしまいます。１回のみの戦略型ゲームの場合は、このナッシュ均衡が現れます。

有限回（ $T$ 回）の繰り返しゲームの場合は、最後で相手の値下げを怖れて自分も値下げをしてしまうため、１回のみの戦略型ゲームと同じナッシュ均衡が現れてしまいます。

無限回繰り返しゲームの場合は状況が変わり、両社のトリガー戦略がナッシュ均衡として現れる場合があります。

次の例は、最初は協力（価格維持）で、 $T$ 回目で $A$ が非協力（値下げ）に転じた場合です。 $T$ 回目には $A$ の利得は「５」になり一時的に増えますが、 $T + 1$ 回目で $B$ も非協力（値下げ）に転じると、 $A$ の利得は「２」に減ってしまいます。

このような状況では、 $A$ は協力（価格維持）を続けるか、非協力（値下げ）に転じるか判断に迫られます。

無限回の繰り返しゲームにおいて、フォークの定理が成り立つ条件を求めます。

まず上の例で、 $T$ 回目の時点で、それ以降の利得の合計（現在価値）を計算します。ここで $δ$ は割引因子（ $1 -$ 利率）です。

協力（価格維持）を続ける場合
$A_{C} = 4 + 4 δ + 4 δ^{2} + 4 δ^{3} + \dots = \frac{4}{1 - δ}$
非協力（値下げ）を転じる場合
$A_{D} = 5 + 2 δ + 2 δ^{2} + 2 δ^{3} + \dots = \frac{5 - 3 δ}{1 - δ}$

ここで、協力（価格維持）戦略の利得が非協力（値下げ）戦略の利得より大きくなる条件 $A_{C} > A_{D}$ は、

$\frac{4}{1 - δ} > \frac{5 - 3 δ}{1 - δ}$ $δ > \frac{1}{3}$

従って、割引因子が $1 / 3$ より大きい場合は、協力（価格維持）戦略が選択されることが分かります。

次に、以下のような一般の場合で利得の合計（現在価値）を計算します。

協力（価格維持）を続ける場合
$A_{C} = C + C δ + C δ^{2} + C δ^{3} + \dots = \frac{C}{1 - δ}$
非協力（値下げ）を転じる場合
$A_{D} = S + T δ + T δ^{2} + T δ^{3} + \dots = \frac{S - (S - D) δ}{1 - δ}$