フォーク定理とは - 理数の散策路

フォーク定理とは、無限回の繰り返しゲームにおいて、協力解が均衡として成立するという定理です。この均衡は、市場利率が十分に低く、互いがトリガー戦略を取った場合に現れます。

尚、トリガー戦略とは、相手が「協力」的ならば「協力」するが、相手が「非協力」に転じた場合は、それ以降自分も「非協力」（相手に不利な行動）を取るという戦略です。

繰り返しゲーム

繰り返しゲームとは、同じ戦略形ゲームを何回も繰り返して行うゲームです。但し、各回の後に各プレイヤが取った行動（戦略）は全てのプレイヤに知らされるものとします。

プレイヤ $A$ が行動 $X$、プレイヤ $B$ 行動 $Y$ を取る場合の行動の組を $(X,Y)$、その場合のプレイヤ $A$ の利得を $A(X,Y)$、プレイヤ $B$ の利得を $B(X,Y)$ で表すとします。このときの利得表を以下で表します。

この例は、１回のみのゲームの場合、「$X$：価格維持」、「$Y$：値下げ」と置くと、２つの企業間の価格競争を表し、いわゆる「囚人のジレンマ」のパターンです。

両社が価格維持の行動を取ると両社の利得は共に「４」になりますが、互いの最適反応戦略は値下げであるため、ナッシュ均衡での両社の利得は共に「２」になってしまいます。１回のみの戦略型ゲームの場合は、このナッシュ均衡が現れます。

有限回（$T$ 回）の繰り返しゲームの場合は、最後で相手の値下げを怖れて自分も値下げをしてしまうため、１回のみの戦略型ゲームと同じナッシュ均衡が現れてしまいます。

無限回繰り返しゲームの場合は状況が変わり、両社のトリガー戦略がナッシュ均衡として現れる場合があります。

次の例は、最初は協力（価格維持）で、$T$ 回目で $A$ が非協力（値下げ）に転じた場合です。$T$ 回目には $A$ の利得は「５」になり一時的に増えますが、$T+1$ 回目で $B$ も非協力（値下げ）に転じると、$A$ の利得は「２」に減ってしまいます。

このような状況では、$A$ は協力（価格維持）を続けるか、非協力（値下げ）に転じるか判断に迫られます。

無限回の繰り返しゲームにおいて、フォークの定理が成り立つ条件を求めます。

まず上の例で、$T$ 回目の時点で、それ以降の利得の合計（現在価値）を計算します。ここで $\delta$ は割引因子（$1-$利率）です。

協力（価格維持）を続ける場合
$$A_C=4+4\delta+4\delta^2+4\delta^3+\cdots=\frac{4}{1-\delta}$$
非協力（値下げ）を転じる場合
$$A_D=5+2\delta+2\delta^2+2\delta^3+\cdots=\frac{5-3\delta}{1-\delta}$$

ここで、協力（価格維持）戦略の利得が非協力（値下げ）戦略の利得より大きくなる条件 $A_C\gt A_D$ は、

$$\frac{4}{1-\delta}\gt\frac{5-3\delta}{1-\delta}$$$$\delta\gt\frac{1}{3}$$

従って、割引因子が $1/3$ より大きい場合は、協力（価格維持）戦略が選択されることが分かります。

次に、以下のような一般の場合で利得の合計（現在価値）を計算します。

協力（価格維持）を続ける場合
$$A_C=C+C\delta+C\delta^2+C\delta^3+\cdots=\frac{C}{1-\delta}$$
非協力（値下げ）を転じる場合
$$A_D=S+T\delta+T\delta^2+T\delta^3+\cdots=\frac{S-(S-D)\delta}{1-\delta}$$

$A_C\gt A_D$ を求めると、

$$\delta\gt\frac{S-C}{S-D}$$

この場合、協力（価格維持を）続けるという戦略が合理的な判断として選択されることになり、特に割引因子が大きい（利率が低い）場合に現れ易くなります。これは、利率が低い場合は将来の利得の現在価値は大きくなり、繰り返しゲームの影響が出てくるためです。