角運動量の合成
量子力学における角運動量の合成とは、別々の角運動量から全角運動量を作ることです。１電子の全角運動量 ${\bf j}$ は、軌道角運動量 ${\bf l}$ とスピン角運動量 ${\bf s}$ の和として定義されます。
$${\bf j}={\bf l}+{\bf s}$$
昇降演算子を
$$j_\pm=j_x\pm ij_y$$
で定義すると、全角運動量の大きさの２乗 ${\bf j}^2$ について、以下の関係があります。
$${\bf j}^2=j_x^2+j_y^2+j_z^2=\frac{1}{2}(j_+j_-+j_-j_+)+j_z^2 -①$$
演算子の交換関係
$$[l_x,l_y]=i\hbar l_z , [l_y,l_z]=i\hbar l_x , [l_z,l_x]=i\hbar l_y$$$$[s_x,s_y]=i\hbar s_z , [s_y,s_z]=i\hbar s_x , [s_z,s_x]=i\hbar s_y$$
より、合成された角運動量の交換関係は以下で表されます。
$$[j_x,j_y]=i\hbar j_z , [j_y,j_z]=i\hbar j_x , [j_z,j_x]=i\hbar j_y$$
これより（②の導出）、
$$[{\bf j}^2,j_x]=[{\bf j}^2,j_y]=[{\bf j}^2,j_z]=0 -②$$
昇降演算子 $j_\pm$ については、以下の交換関係があります（④の導出）（⑤の導出）。
$$[j_+,j_-]=2\hbar j_z -③$$$$[{\bf j}^2,j_\pm]=0 -④$$$$[j_z,j_\pm]=\pm\hbar j_\pm -⑤$$
固有関数と固有値
軌道角運動量の固有関数が $\ket{l,m_l}$ で表されることから、全角運動量の固有関数を $\ket{j,m_j}$ で表します。ここで、量子数の関係は、
$$j=l+m_s=l\pm\frac{1}{2}$$$$m_j=m_l+m_s=m_l\pm\frac{1}{2}$$
であるため、固有関数は以下になります。尚、$m_l$ の範囲は $-l\le m_l\le l$ です。
$$\ket{j,m_j}=\Big|l+\frac{1}{2},m_l+\frac{1}{2}\Big> \mathrm{or} \Big|l-\frac{1}{2},m_l-\frac{1}{2}\Big>$$
昇降演算子 $j_\pm$
$j_\pm$ は、$m_j$ を１つ上げ下げする昇降演算子（導出）としての役割を持ちます（⑥の導出）。
$$j_\pm\ket{j,m_j}=\hbar\sqrt{(j\mp m_j)(j\pm m_j+1)}\ket{j,m_j\pm1} -⑥$$
角運動量の $z$ 成分 $j_z$
全角運動量の $z$ 成分（$j_z=l_z+s_z$）の固有値は以下になります。$m_j$ の範囲は｛$-j\le m_j\le j$｝の $2j+1$ 個です（導出）。
$$j_z\ket{j,m_j}=m_j\hbar\ket{j,m_j} -⑦$$
角運動量の２乗 ${\bf j}^2$
全角運動量の大きさの２乗 ${\bf j}^2$ の固有値は以下になります（⑧の導出）。
$${\bf j}^2\ket{j,m_j}=j(j+1)\hbar^2\ket{j,m_j} -⑧$$
式の導出
②を導く
以下、$[{\bf j}^2,j_z]$ の場合を計算すると、
$$[{\bf j}^2,j_z]=[j_x^2,j_z]+[j_y^2,j_z]+[j_z^2,j_z]$$$$=j_x^2j_z-j_zj_x^2+j_y^2j_z-j_zj_y^2$$$$=j_x(j_zj_x-i\hbar j_y)-(j_xj_z+i\hbar j_y)j_x+j_y(j_zj_y+i\hbar j_x)-(j_yj_z-i\hbar j_x)j_y$$$$=0$$
④を導く
④の左辺を、第１項～第３項の３つに分けて計算します。
$$[{\bf j}^2,j_\pm]=[{\bf j}_x^2,j_\pm]+[{\bf j}_y^2,j_\pm]+[{\bf j}_z^2,j_\pm]\equiv(1)+(2)+(3)$$
$$(1)=j_x^2(j_x\pm ij_y)-(j_x\pm ij_y)j_x^2$$$$=\pm ij_x(j_yj_x+i\hbar j_z)\mp i(j_xj_y-i\hbar j_z)j_x$$$$=\mp\hbar j_xj_z\mp\hbar j_zi_x$$
$$(2)=j_y^2(j_x\pm ij_y)-(j_x\pm ij_y)j_y^2$$$$=j_y(j_xj_y-i\hbar j_z)-(j_yj_x+i\hbar j_z)j_y$$$$=-i\hbar j_yj_z-i\hbar j_zi_y$$
$$(3)=j_z^2(j_x\pm ij_y)-(j_x\pm ij_y)j_z^2$$$$=j_z(j_xj_z+i\hbar j_y)\pm ij_z(j_yj_z-i\hbar j_x)-(j_zj_x-i\hbar j_y)j_z\mp i(j_zj_y+i\hbar j_x)j_z$$$$=i\hbar j_zj_y\pm\hbar j_zj_x+i\hbar j_yj_z\pm\hbar j_xj_z$$
以上より、これらの和が０になることが分かります。
$$(1)+(2)+(3)=0$$
⑤を導く
⑤の左辺を計算すると、
$$[j_z,j_\pm]=[j_z,j_x]\pm i[j_z,j_y]$$$$=i\hbar j_y\pm\hbar j_x=\pm\hbar(j_x\pm ij_y)=\pm\hbar j_\pm$$
$j_\pm$ は昇降演算子
${\bf j}^2$ の固有値を $\lambda\hbar^2$ と置くと、
$${\bf j}^2\ket{j,m_j}=\lambda\hbar^2\ket{j,m_j}$$
これに $j_\pm$ を作用させ、交換関係④を使うと、
$${\bf j}^2j_\pm\ket{j,m_j}=\lambda\hbar^2j_\pm\ket{j,m_j}$$
また、$j_z$ の固有値を $\mu\hbar$ と置くと、
$$j_z\ket{j,m_j}=\mu\hbar\ket{j,m_j}$$
これに $j_\pm$ を作用させ、交換関係⑤を使うと、
$$j_zj_\pm\ket{j,m_j}=(\mu\pm1)\hbar j_\pm\ket{j,m_j}$$
以上より、$j_\pm$ は ${\bf j}^2$ の固有値を変えないで、$j_z$ の固有値を $\mu\pm1$ とする昇降演算子となります。
⑥を導く
$|j_\pm|^2$ の期待値を計算すると、$j_\pm^\dagger=j_\mp$ であるから、
$$\braket{j,m_j|j_\pm^2|j,m_j}=\braket{j,m_j|j_\mp j_\pm|j,m_j}$$$$=\braket{j,m_j|(j_x\mp ij_y)(j_x\pm ij_y)|j,m_j}$$$$=\braket{j,m_j|({\bf j}^2-j_z^2\mp\hbar j_z)|j,m_j}$$
各固有値は⑦⑧を利用すると、
$$\braket{j,m_j|j_\pm^2|j,m_j}=\Big(j(j+1)-m_j^2\mp m_j\Big)\hbar^2$$$$=\Big((j\mp m_j)(j\pm m_j+1)\Big)\hbar^2$$
これより⑥が得られることが分かります。
$j_z$ の固有値
${\bf j}^2$ の固有値を $\lambda\hbar^2$、$j_z$ の固有値を $\mu\hbar$ と置くと、${\bf j}^2=j_x^2+j_y^2+j_z^2$ であり、$j_x^2+j_y^2$ の期待値は負にはならないため、固有値の関係は $\lambda\ge\mu^2\ge0$ であることが分かります。$\lambda\sim j^2$ であるから、$j_z$ の固有値の最大値を $\mu=j$ と置きます。
交換関係③の期待値を取ります。昇降演算子は ${\bf j}^2$ の固有値 $\lambda$ を変えないため、以下の計算では省略します。
$$\braket{\mu|(j_+j_- -j_-j_+)|\mu}=2\hbar\braket{\mu|j_z|\mu}$$$$\braket{\mu|j_+|\mu-1}\braket{\mu-1|j_-|\mu}-\braket{\mu|j_-|\mu+1}\braket{\mu+1|j_+|\mu}=2\mu\hbar^2 -(1)$$
ここで $j_+=j_-^\dagger$ であるため、
$$\braket{\mu|j_+|\mu-1}=\braket{\mu-1|j_-|\mu}^* -(2)$$$$\braket{\mu|j_-|\mu+1}=\braket{\mu+1|j_+|\mu}^* -(3)$$
これらを (1) に代入すると、それぞれ、
$$|\braket{\mu-1|j_-|\mu}|^2-|\braket{\mu|j_-|\mu+1}|^2=2\mu\hbar^2 -(4)$$$$|\braket{\mu|j_+|\mu-1}|^2-|\braket{\mu+1|j_+|\mu}|^2=2\mu\hbar^2 -(5)$$
まず (4) について、$j_z$ の固有値 $\mu$ の最大値を $j$ として、$\mu=j,j-1,j-2,\cdots,m$ で書き直すと、
$|\braket{j-1|j_-|j}|^2-|\braket{j|j_-|j+1}|^2=2j\hbar^2$
$|\braket{j-2|j_-|j-1}|^2-|\braket{j-1|j_-|j}|^2=2(j-1)\hbar^2$
・・・・
$|\braket{m-1|j_-|m}|^2-|\braket{m|j_-|m+1}|^2=2m\hbar^2$
これらの両辺を足し合わせると、最初の式の左辺第２項は０で、左辺第１項と次の式の左辺第２項は消えるため、結局左辺は最後の式の第１項のみ残ります。
$$|\braket{m-1|j_-|m}|^2=2[j+(j-1)+(j-2)+\cdots+m]\hbar^2$$$$=(j+m)(j-m+1)\hbar^2 -(6)$$
次に (5) について、$j_z$ の固有値 $\mu$ の最小値を $j’$ として、$\mu=j’,j’+1,j’+2,\cdots,m-1$ で書き直すと、
$|\braket{j’|j_+|j’-1}|^2-|\braket{j’+1|j_+|j’}|^2=2j’\hbar^2$
$|\braket{j’+1|j_+|j’}|^2-|\braket{j’+2|j_+|j’+1}|^2=2(j’+1)\hbar^2$
・・・・
$|\braket{m-1|j_+|m-2}|^2-|\braket{m|j_+|m-1}|^2=2(m-1)\hbar^2$
これらの両辺を足し合わせると、最初の式の左辺第１項は０で、左辺第２項と次の式の左辺第１項は消えるため、結局左辺は最後の式の第２項のみ残ります。
$$|\braket{m|j_+|m-1}|^2=-2[j’+(j’+1)+\cdots+m-1]\hbar^2$$$$=(j’-m)(j’+m-1)\hbar^2 -(7)$$
(6) と (7) の両辺の差を取ると、
$$|\braket{m-1|j_-|m}|^2-|\braket{m|j_+|m-1}|^2=(j+j’)(j-j’+1)$$
左辺に $j_+=j_-^\dagger$ を代入すると０になるため、
$$(j+j’)(j-j’+1)=0$$
$j\gt j’$ より $j-j’+1\ne0$ であるため、$j=-j’$ であることが導かれます。以上より、$j_z$ の固有値の範囲は $-j\le \mu\le j$ で、$2j+1$ 個存在することが分かります。
⑧を導く
①の期待値を取り、(2) (3) の関係を使い、最後は (6) (7) により、
$$\braket{m|{\bf j}^2|m}=\frac{1}{2}\braket{m|(j_+j_-+j_-j_+)|m}+\braket{m|j_z^2|m}$$$$=\frac{1}{2}\braket{m|j_+|m-1}\braket{m-1|j_-|m}+\frac{1}{2}\braket{m|j_-|m+1}\braket{m+1|j_+|m}$$$$+\braket{m|j_z^2|m}$$$$=\frac{1}{2}|\braket{m-1|j_-|m}|^2+\frac{1}{2}|\braket{m+1|j_+|m}|^2+|\braket{m|j_z|m}|^2$$$$=\frac{1}{2}(j+m)(j-m+1)\hbar^2-\frac{1}{2}(j’+m)(m-j’+1)\hbar^2+m^2\hbar^2$$
従って、$j’=-j$ より、以下が導かれます。
$$\braket{m|{\bf j}^2|m}=j(j+1)\hbar^2$$
