オイラーの運動方程式
オイラーの運動方程式とは、剛体の運動を表す方程式で、質点の場合のニュートンの運動方程式に相当します。オイラーの運動方程式は、力のモーメント $N$ と角運動量 $L$ の関係を表します。
$${\bf N}=\frac{d{\bf L}}{dt} －①$$
剛体の場合、力のモーメントと角運動量は以下で定義されます。$\omega$ は角速度を表します。
$${\bf N}=\sum_i{\bf r}_i\times{\bf F}_i$$
$${\bf L}=\sum_im_i{\bf r}_i\times\dot{\bf r}_i=\sum_im_i{\bf r}_i\times({\bf\omega}\times{\bf r}_i) －②$$
慣性モーメント
慣性モーメントとは、剛体の回転運動の変化のし難さを表す物理量で、質点の運動の質量に相当します。角運動量と角側との関係は以下で表されます。
$$L=I\omega$$
角運動量を剛体に固定された座標系（ $\xi,\eta,\zeta$ ）から見た成分と、その座標系（剛体）の回転によって現れる成分に分解します。
$$\frac{d{\bf L}}{dt}=\frac{d{\bf L’}}{dt}+{\bf\omega}\times{\bf L}’ -③$$
角運動量と慣性モーメント（主慣性モーメント）を以下で表すと、
$${\bf L}’=(I_\xi\omega_\xi,I_\eta\omega_\eta,I_\zeta\omega_\zeta) -④$$
オイラーの運動方程式は以下のように表されます。
$$N_\xi=I_\xi\frac{d\omega_\xi}{dt}-(I_\eta-I_\zeta)\omega_\eta\omega_\zeta -⑤$$$$N_\eta=I_\eta\frac{d\omega_\eta}{dt}-(I_\zeta-I_\xi)\omega_\zeta\omega_\xi -⑤$$$$N_\zeta=I_\zeta\frac{d\omega_\zeta}{dt}-(I_\xi-I_\eta)\omega_\xi\omega_\eta -⑤$$
慣性テンソル
慣性テンソルとは、慣性モーメントを３×３のテンソルで表わしたものです。以下、この慣性テンソルを求めます。まず、②の右辺のベクトル積の各成分は、
$$({\bf r}\times({\bf\omega}\times{\bf r}))_x=(y^2+z^2)\omega_x-xy\omega_y-zx\omega_z$$$$({\bf r}\times({\bf\omega}\times{\bf r}))_y=(z^2+x^2)\omega_y-yz\omega_z-xy\omega_x$$$$({\bf r}\times({\bf\omega}\times{\bf r}))_z=(x^2+y^2)\omega_z-zx\omega_x-yz\omega_y$$
これを剛体に固定された座標系（ $\xi,\eta,\zeta$ ）で表すと、②の各成分は以下になります。
$$L_\xi=\sum_im_i(\eta_i^2+\zeta_i^2)\omega_\xi-\sum_im_i\xi_i\eta_i\omega_\eta-\sum_im_i\zeta_i\xi_i\omega_\zeta$$$$L_\eta=\sum_im_i(\zeta_i^2+\xi_i^2)\omega_\eta-\sum_im_i\eta_i\zeta_i\omega_\zeta-\sum_im_i\xi_i\eta_i\omega_\xi$$$$L_\zeta=\sum_im_i(\xi_i^2+\eta_i^2)\omega_\zeta-\sum_im_i\zeta_i\xi_i\omega_\xi-\sum_im_i\eta_i\zeta_i\omega_\eta$$
慣性モーメントと慣性乗積を以下で定義すると、
$$I_\xi\equiv\sum_{i}m_i(\eta_i^2+\zeta_i^2) , I_{\eta\zeta}\equiv\sum_im_i\eta_i\zeta_i$$$$I_\eta\equiv\sum_{i}m_i(\zeta_i^2+\xi_i^2) , I_{\zeta\xi}\equiv\sum_im_i\zeta_i\xi_i$$$$I_\zeta\equiv\sum_{i}m_i(\xi_i^2+\eta_i^2) , I_{\xi\eta}\equiv\sum_im_i\xi_i\eta_i$$
②は行列を使って以下のように表すことができます。
$$\left(\begin{array}{ccc}L_\xi \\ L_\eta \\ L_\zeta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} I_\xi & -I_{\xi\eta} & -I_{\zeta\xi} \\ -I_{\xi\eta} & I_\eta & -I_{\eta\zeta} \\ -I_{\zeta\xi} & -I_{\eta\zeta} & I_\zeta\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\omega_\xi \\ \omega_\eta \\ \omega_\zeta\end{array}\right) -⑥$$
主慣性モーメント
主慣性モーメントとは、座標軸の方向を適当に選ぶことにより対角成分以外が０になった慣性テンソルの対角成分です。これは④の式と等しくなります。
$$\left(\begin{array}{ccc}L_{\xi’} \\ L_{\eta’} \\ L_{\zeta’}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} I_{\xi’} & 0 & 0 \\ 0 & I_{\eta’} & 0 \\ 0 & 0 & I_{\zeta’}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\omega_{\xi’} \\ \omega_{\eta’} \\ \omega_{\zeta’}\end{array}\right)$$
剛体の運動エネルギー
剛体の運動エネルギーは慣性テンソルにより以下で表すことができます。
$$K=\frac{1}{2}\sum_im_i({\bf\omega}\times{\bf r}_i)^2$$$$=\frac{1}{2}\Big(I_\xi\omega_\xi^2+I_\eta\omega_\eta^2+I_\zeta\omega_\zeta^2-2I_{\eta\zeta}\omega_\eta\omega_\zeta-2I_{\zeta\xi}\omega_\zeta\omega_\xi-2I_{\xi\eta}\omega_\xi\omega_\eta\Big)$$$$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}\omega_\xi & \omega_\eta & \omega_\zeta\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} I_\xi & -I_{\xi\eta} & -I_{\zeta\xi} \\ -I_{\xi\eta} & I_\eta & -I_{\eta\zeta} \\ -I_{\zeta\xi} & -I_{\eta\zeta} & I_\zeta\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\omega_\xi \\ \omega_\eta \\ \omega_\zeta\end{array}\right) -⑦$$
外力が働かない場合の保存則
外力が働かない場合、運動エネルギーと角運動量が保存されます。これは、外力が働かない場合のオイラー方程式より導かれます。
$$I_\xi\frac{d\omega_\xi}{dt}=(I_\eta-I_\zeta)\omega_\eta\omega_\zeta -⑧$$$$I_\eta\frac{d\omega_\eta}{dt}=(I_\zeta-I_\xi)\omega_\zeta\omega_\xi -⑧$$$$I_\zeta\frac{d\omega_\zeta}{dt}=(I_\xi-I_\eta)\omega_\xi\omega_\eta -⑧$$
運動エネルギーの保存
⑧の各式に $\omega_\xi$ 、$\omega_\eta$ 、$\omega_\zeta$ を掛けて和をとると、右辺は０になるため、
$$I_\xi\omega_\xi\frac{d\omega_\xi}{dt}+I_\eta\omega_\eta\frac{d\omega_\eta}{dt}+I_\zeta\omega_\zeta\frac{d\omega_\zeta}{dt}=0$$
両辺を積分すると、左辺は運動エネルギー $K$ に等しくなり、これが一定であることが分かります。
$$\frac{1}{2}\Big(I_\xi\omega_\xi^2+I_\eta\omega_\eta^2+I_\zeta\omega_\zeta^2\Big)=\mathrm{const} (=K)$$
運動量の保存
⑧の各式に $I_\xi\omega_\xi$ 、$I_\eta\omega_\eta$ 、$I_\zeta\omega_\zeta$ を掛けて和をとると、右辺は０になるため、
$$I_\xi^2\omega_\xi\frac{d\omega_\xi}{dt}+I_\eta^2\omega_\eta\frac{d\omega_\eta}{dt}+I_\zeta^2\omega_\zeta\frac{d\omega_\zeta}{dt}=0$$
両辺を積分すると、左辺は運動量 $L$ の２乗に等しくなり、これが一定であることが分かります。
$$I_\xi^2\omega_\xi^2+I_\eta^2\omega_\eta^2+I_\zeta^2\omega_\zeta^2=\mathrm{const} (=L^2)$$
