シュバルツシルト解とは
シュバルツシルド解とは、一般相対論におけるアインシュタイン方程式の厳密解の１つで、静的で球対称な質量分布により作られる重力場を表します。
一般に曲面座標の微小区間の長さは、計量テンソル $g_{ij}$ を使って表されますが、
$$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$$
静的で球対称の条件の下、計量テンソルは対角で、$r$ の関数となります。
$$ds^2=K(r)dt^2-L(r)dr^2-r^2M(r)(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\phi^2)$$
ここで、$K=e^{2\nu(r)}$、$L=e^{2\lambda(r)}$、$M=1$ と仮定します。
$$ds^2=e^{2\nu}dt^2-e^{2\lambda}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2{\theta}d\phi^2 -①$$
これにより、リッチテンソルを計算すると対角成分以外は０になり、アインシュタイン方程式
$$R_{ij}=0 -②$$
は以下のように書き換えられます。
$$R_{00}=e^{2(\nu-\lambda)}\Big(-\nu^{”}-\nu’^2+\nu’\lambda’-\frac{2\nu’}{r}\Big)=0 -③$$$$R_{11}=\nu^{”}+\nu’^2-\lambda’\nu’-\frac{2\lambda’}{r}=0 -④$$$$R_{22}=e^{-2\lambda}(1-r\lambda’+r\nu’)-1=0 -⑤$$$$R_{33}=R_{22}\sin^2{\theta}=0 -⑥$$
これらを解くと以下になります。
$$g_{00}=e^{2\nu}=e^{-2\lambda}=1-\frac{2mG}{c^2r} -⑦$$
従って、シュバルツシルド解は以下のように表されます。
$$ds^2=\left(1-\frac{2mG}{c^2r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2mG}{c^2r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2{\theta}d\phi^2$$
シュバルツシルド解を導く
アインシュタイン方程式②を解くと⑦が得られることを示します。まず、①より計量テンソルは以下になります。
$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} e^{2\nu} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -e^{2\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^2\sin^2{\theta} \end{array}\right)$$
また $g_{ij}g^{ij}=1$ より、
$$g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc} e^{-2\nu} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -e^{-2\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^{-2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^{-2}\sin^{-2}{\theta} \end{array}\right)$$
クリストフェル記号の計算
クリストフェル記号を計算します。
$$\Gamma^i_{jk}=g^{il}\Gamma_{ljk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right)$$
$i=0$ の場合
計量テンソルは対角であるため以下になります。
$$\Gamma_{jk}^0=g^{00}\Gamma_{0jk}=\frac{1}{2}g^{00}\left(\frac{\partial g_{0j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^0}\right)$$$$=\left(\begin{array}{ccc} 0 & \nu’ & 0 & 0 \\
\nu’ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$
具体的に計算すると、計量は対角要素 $g_{00}$ のみ残り、時間微分は０になるため、
$$\Gamma_{01}^0=\Gamma_{10}^0=\frac{1}{2}g^{00}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1}=\frac{1}{2}e^{-2\nu}\frac{\partial(e^{2\nu})}{\partial r}=\nu’$$
$i=1$ の場合
$$\Gamma_{jk}^1=g^{00}\Gamma_{1jk}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right)$$$$=\left(\begin{array}{ccc} \nu’e^{2(\nu-\lambda)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda’ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -re^{-2\lambda} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -re^{-2\lambda}\sin^2{\theta} \end{array}\right)$$
具体的に計算すると、
$$\Gamma_{00}^1=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1}=\nu’e^{2(\nu-\lambda)}$$$$\Gamma_{11}^1=\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1}=\lambda’$$$$\Gamma_{22}^1=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-re^{-2\lambda}$$$$\Gamma_{33}^1=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}=-re^{-2\lambda}\sin^2{\theta}$$
$i=2$ の場合
$$\Gamma_{jk}^2=g^{00}\Gamma_{2jk}=\frac{1}{2}g^{22}\left(\frac{\partial g_{2j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^2}\right)$$$$=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1/r & 0 \\ 0 & 1/r & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\sin{\theta}\cos{\theta} \end{array}\right)$$
具体的に計算すると、
$$\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=\frac{1}{r}$$$$\Gamma_{33}^2=-\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=-\sin{\theta}\cos{\theta}$$
$i=3$ の場合
$$\Gamma_{jk}^3=g^{33}\Gamma_{3jk}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^3}\right)$$$$=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1/r \\ 0 & 0 & 0 & \cot{\theta} \\
0 & 1/r & \cot{\theta} & 0 \end{array}\right)$$
具体的に計算すると、
$$\Gamma_{13}^3=\Gamma_{31}^3=\frac{1}{2}g^{33}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}=\frac{1}{r}$$$$\Gamma_{23}^3=\Gamma_{32}^3=\frac{1}{2}g^{33}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$$
リッチテンソルの計算
リッチテンソルを計算します。
$$R_{ij}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^k$$
リッチテンソルの対角成分以外は０になり、対角成分は以下になります。
$i=0$ の場合
$$R_{00}=\Gamma_{0k,0}^k-\Gamma_{00,k}^k+\Gamma_{0k}^l\Gamma_{0l}^k-\Gamma_{00}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=e^{2(\nu-\lambda)}\Big(-\nu^{”}-\nu’^2+\nu’\lambda’-\frac{2\nu’}{r}\Big)$$
これより③が求められます。
$i=1$ の場合
$$R_{11}=\Gamma_{1k,1}^k-\Gamma_{11,k}^k+\Gamma_{1k}^l\Gamma_{1l}^k-\Gamma_{11}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=\nu^{”}+\nu’^2-\lambda’\nu’-\frac{2\lambda’}{r}$$
これより⓸が求められます。
$i=2$ の場合
$$R_{22}=\Gamma_{2k,2}^k-\Gamma_{22,k}^k+\Gamma_{2k}^l\Gamma_{2l}^k-\Gamma_{22}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=e^{-2\lambda}(1-r\lambda’+r\nu’)-1$$
これより⑤が求められます。
$i=3$ の場合
$$R_{33}=\Gamma_{3k,3}^k-\Gamma_{33,k}^k+\Gamma_{3k}^l\Gamma_{3l}^k-\Gamma_{33}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=-\Gamma^1_{33,1}-\Gamma^2_{33,2}+2\Gamma^3_{31}\Gamma^1_{33}+2\Gamma^2_{33}\Gamma^3_{32}$$$$-\Gamma^1_{33}(\Gamma^0_{10}+\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{12}+\Gamma^3_{13})-\Gamma^2_{33}\Gamma^3_{23}$$$$=e^{-2\lambda}\sin^2{\theta}(1-r\lambda’+r\nu’)-\sin^2{\theta}$$$$=R_{22}\sin^2{\theta}$$
これより⑥が求められます。
計量テンソルの計算
③と④より、$\nu’+\lambda’=0$ となりますが、無限遠では $\nu$ と $\lambda$ は０に近づくため、$\nu+\lambda=0$ となることが分かります。これを⑤に代入すると、
$$(1+2r\nu’)e^{2\nu}=1$$$$(re^{2\nu})’=1$$
これを積分すると、
$$re^{2\nu}=r+\mathrm{const}$$
重力場のニュートン近似より以下が得られているため、これより⑦が求められます。
$$g_{00}=1-\frac{2mG}{c^2r}$$
