ジーンズ不安定とは

ジーンズ不安定とは、星間ガスなどの気体が、その内部圧力（気圧）よりも重力が強くなり、重力収縮を起こしてしまうことです。

そのときの、半径をジーンズ半径（臨界半径）、質量をジーンズ質量（臨界質量）と呼びます。ジーンズ半径よりも大きなスケールは不安定で重力収縮し、小さなスケールは安定であると考えます。

一様な密度 $ρ$ 、圧力 $p$ をもつ半径 $r$ の星間ガスを考えます。半径 $r$ の単位体積に働く重力 $F_{g}$ は以下になり、

$F_{g} = \frac{G M ρ}{r^{2}} - ①$

静水圧による圧力勾配（圧力差） $F_{p}$ は以下で表されます。

$F_{p} ≅ \frac{p}{r} - ②$

このとき、 $| δ F_{g} | > | δ F_{p} |$ となる条件であるジーンズ半径 $R_{J}$ とジーンズ質量 $M_{J}$ は以下で表されます。

$R_{J} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \sqrt{\frac{c_{s}^{2}}{π G ρ}} - ③$ $M_{J} = \frac{9 \sqrt{2}}{8} \sqrt{\frac{c_{s}^{6}}{π G^{3} ρ}} - ④$

ここで、 $c_{s}$ は音速で以下で定義されます。

$c_{s} \equiv \sqrt{\frac{γ p}{ρ}}$

ジーンズ半径を導く

ジーンズ半径の導出には以下の前提を使用します。

前提１のガス球体の全質量は一定であり、微小変位は０となるため、

$δ M = \frac{4 π}{3} (3 r^{2} ρ δ r + r^{3} δ ρ) = 0$ $δ ρ = - \frac{3 ρ}{r} δ r - (1)$

前提２の両辺の対数の微小変位は以下になります。

$δ p = \frac{γ p}{ρ} δ ρ - (2)$

次に①の微小変位を取り、前提１を使うと、

$δ F_{g} = - \frac{2 G M ρ}{r^{3}} δ r = - \frac{8 π G ρ^{2}}{3} δ r - (3)$

②の両辺の微小変位をとり、(2) と (1) を使うと、

$δ F_{p} = \frac{δ p}{r} = - \frac{3 γ p}{r^{2}} δ r = - \frac{3 ρ c_{s}^{2}}{r^{2}} δ r - (4)$

これらより、 $| δ F_{g} | > | δ F_{p} |$ となる半径 $R_{J}$ を求めると③が導かれます。また、ジーンズ質量は、ジーンズ半径を前提１に代入すると得られます。